コンプトン散乱

[mathjax]

光子の粒子性を示す実験。散乱によって光の波長が伸びる。

光子が電子にぶつかって散乱する状況を考える。光子を粒子とみなして計算する。

・入射する光の振動数　$\nu$

・散乱後の光の振動数　$\mu^{\prime}$

・電子の質量　$m$

・散乱後の電子の運動量 $p^{\prime}$

・光子の散乱角　$\theta$\

・電子の散乱角　$\phi$

①エネルギー保存の式

$h\nu+mc^2=\sqrt{(p^{\prime}c)^2+(mc^2)^2}+h\nu^{\prime}$　

②運動量保存の式（進行方向）

$\displaystyle\frac{h\nu}{c}=\displaystyle\frac{h\nu^{\prime}}{c}\cos\theta+p^{\prime}\cos\phi$ 　

③運動量保存の式（垂直方向）

$0=\displaystyle\frac{h\nu^{\prime}}{c}\sin\theta-p^{\prime}\sin\phi$

②と③から$\phi$を消去すると

$h^2\nu^2+h^2\nu{^{\prime}}^2-2h^2\nu\nu^{\prime}\cos\theta=p{^{\prime}}^2c^2$　　$\cdots$ ④

①を変形すると

$p{^{\prime}}^2c^2=(h(\nu-\nu^{\prime})+mc^2)^2-m^2c^4=h^2(\nu-\nu^{\prime})^2+2mhc^2(\nu-\nu^{\prime})$ 　$\cdots$ ⑤

④⑤から$p{^{\prime}}^2c^2$を消去すると

$-2h^2\nu\nu^{\prime}\cos\theta=-2h^2\nu\nu^{\prime}+2mhc^2(\nu-\nu^{\prime})$

・$\nu^{\prime}$について解いて変形すると

$$h\nu^{\prime}=\displaystyle\frac{h\nu}{1+\displaystyle\frac{h\nu}{mc^2}(1-\cos\theta)}$$

・$c=h\nu$を使って波長の関係式に書き直すと

$$\lambda^{\prime}=\lambda+\displaystyle\frac{h}{mc}(1-\cos\theta)$$

入射した光より散乱した光の方が波長が長くなる。