デルタ関数型ポテンシャル

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デルタ関数型ポテンシャル

ポテンシャルが以下のようなものを考える。

$V(x)=V_{0}\delta(x)$　　※ただし$V_{0}>0$とする。

解答

波動関数

シュレディンガー方程式は、$V(x)=V_{0}\delta(x)$なので以下のようになる。

$\biggl[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}+V_{0}\delta(x)\biggr]\psi(x)=E\psi(x)$

$x>0$、$x<0$のそれぞれでの波動関数は　

$\psi_{-}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$　$\cdots$　（$x<0$）

$\psi_{+}(x)=Ce^{ikx}$　$\cdots$　（$x>0$）

※$k=\displaystyle\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

接続条件

$x=0$での接続条件を考えていく。

$\psi(x)$の接続から　$A+B=C$

$\psi'(x)$の接続を考えていく。まず、シュレディンガー方程式を$[-\varepsilon,\varepsilon]$で積分。

$-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\biggl[\displaystyle\frac{d\psi}{dx}\biggr]_{-\varepsilon}^{\varepsilon}+V_{0}\psi(0)=E\displaystyle\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\psi(x) dx$

$\varepsilon\to 0$にすると　$\psi_{+}^{\prime}(0)-\psi_{-}^{\prime}(0)=\displaystyle\frac{2mV_{0}}{\hbar^2}\psi(0)$

具体的に代入して整理すると　$ik(A-B)=\biggl(ik-\displaystyle\frac{2mV_{0}}{\hbar^2}\biggr)C$

反射率、透過率

上の二式から反射率、透過率が計算できる。(kが同じなので、係数比で計算できる)

反射率は

$$R=\biggl|\displaystyle\frac{B}{A}\biggr|^2=\biggl[1+\displaystyle\frac{\hbar^2 k^2}{m^2 V_{0}^2}\biggr]^{-1}$$

透過率は

$$T=\biggl|\displaystyle\frac{C}{A}\biggr|^2=\biggl[1+\displaystyle\frac{m^2 V_{0}^2}{\hbar^2 k^2}\biggr]^{-1}$$

※$R+T=1$となっている。