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目次
クレロー型微分方程式
\(y=xp+f(p)\)の形の微分方程式（ただし、\(p=y^{\prime}\)）。
解き方
両辺を微分することで解く。
\(y=xp+f(p)\)を\(x\)で微分して
\(y^{\prime}=p=xp^{\prime}+p+p^{\prime}f^{\prime}(p)\)
\(p^{\prime}(x+f^{\prime}(p))=0\)
一般解
任意定数がでてくるので、一般解。
\(p^{\prime}=0\)を解くと \(p=定数(=cとおく)\)
元の式に代入すると答えは \(y=xc+f(c)\)
特異解
\(x+f^{\prime}(p)=0\)を解く。元の微分方程式と連立して\(p\)が消去できるため、これが特異解となる。
例題
\(y^{\prime}=p\)としたとき、 \(y=xp-\log p\)
解答
両辺を\(x\)で微分する。
\(p=p+xp^{\prime}-\displaystyle\frac{p^{\prime}}{p}\)
\(p^{\prime}\biggl(x-\displaystyle\frac{1}{p}\biggr)=0\)
・一般解
\(p^{\prime}=0\)から\(p=一定(=cとおく)\)つまり \(y=xc-\log c\)
・特異解
\(x-\displaystyle\frac{1}{p}=0\)
\(p=\displaystyle\frac{1}{x}\)
元の式に代入すると
\(y=1-\log\displaystyle\frac{1}{x}=\log x+1\)
