[mathjax]
楕円方程式の導出
楕円の定義は二点からの距離の和が等しい軌跡。
一般の場合を考え、\((\pm c,0)\)からの距離の和が\(2a\)であるとして導出する。
\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\)
\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)
\((x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\) ※二乗
\(4cx-4a^2=4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)
\((cx-a^2)^2=a^2(x-c)^2+a^2y^2\)
\((a^2-c^2)x^2+y^2=a^2(a^2-c^2)\)
整理して\(a^2-c^2=b^2\)と置き換えると
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)となるから、焦点は\((\pm\sqrt{a^2-b^2},0)\)となることがわかる。
双曲線方程式の導出
双曲線の定義は二点からの距離の差が一定の軌跡。
一般の場合を考え、\((\pm c,0)\)からの距離の差が\(2a\)であるとして導出する。
\(|\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}|=2a\)
\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a\)
\(\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\pm 2a\)
\((x+c)^2+y^2=(x-c)^2+y^2+4a^2\pm 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\) ※二乗
\(4cx-4a^2=\pm 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\)
\((4cx-4a^2)^2=16a^2(x-c)^2+16a^2y^2\)
\(c^2x^2+a^4=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2\)
\((c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\)
整理して\(c^2-a^2=b^2\)と置き換えると
\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)
このとき、焦点は\((\pm\sqrt{a^2+b^2},0)\) となる。
