因数分解 難問

[mathjax]

問題

応用的な因数分解の問題を用意しました。以下を整数係数の範囲で因数分解してください。

①　$x^4+4y^4$

②　$x^5+x^4+1$

③　$(a+b)(b+c)(c+a)+abc$

④　$x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1$

⑤　$x^8-6x^6+3x^4+2x^2+9$

⑥　$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$

$x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2$

$=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2$

$=(x^2+2xy+2y^2)(x^2-2xy+2y^2)$

$x^5+x^4+1=x^5+x^4$$+x^3-x^3$$+1$

$=x^3(x^2+x+1)-(x-1)(x^2+x+1)$

$=(x^3-x+1)(x^2+x+1)$

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc=a^2 b+ab^2+b^2 c+bc^2+c^2 a+ca^2+3abc$

$=(b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a+bc(b+c)=[(b+c)a+bc]\times [a+(b+c)]$

$=(ab+bc+ca)(a+b+c)$

因数定理より$(x+1)$を因数に持つことは分かるので

$x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1=(x+1)(x^4+x^3+2x^2+x+1)$

$=(x+1)(x^4+x^3+x^2+x^2+x+1)$

$=(x+1)[x^2(x^2+x+1)+x^2+x+1]$

$=(x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)$

$x^8-6x^6+3x^4+2x^2+9$

$t=x^2$とおく。因数定理を考えると、$\pm 1,\pm 3,\pm 9$において$0$とならないので一次の因数は持たない。分解できるならば、二次の因数同士になる。

整数係数なので、$t^4-6t^3+3t^2+2t+9=(t^2+at+b)(t^2+ct+d)$と分解できるとおける。

両辺を比較して計算すると、これを満たすのは$(a,b,c,d)=(1,1,-7,9)$となる。つまり

$x^8-6x^6+3x^4+2x^2+9=(x^4+x^2+1)(x^4-7x^2+9)$

$x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

$x^4-7x^2+9=x^4-6x^2+9-x^2=(x^2-3)^2-x^2=(x^2+x-3)(x^2-x-3)$

なので答えは

$$x^8-6x^6+3x^4+2x^2+9=(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^2+x-3)(x^2-x-3)$$

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$

$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$ を使う。

$a=x-y$、$b=y-z$、$c=z-x$とすると$a+b+c=0$となるので

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)$