$n$人でじゃんけんをして、あいこになる確率を考えてみる。直接考えにくいので、余事象で考える。
あいこにならないのは、「$n$人がグー、チョキ、パーのうち2つのみを出している場合」でこれは$_{3}\mathrm{C}_{2}\times(2^{n}-2)$通りある。
$_{3}\mathrm{C}_{2}$は2つの手の選び方で、$2^{n}-2$は各人がどちらの手を選ぶか(2を引いているのは全員一致を除いてる)
なので余事象の確率は、$\displaystyle\frac{_{3}\mathrm{C}_{2}\times(2^{n}-2)}{3^n}$
あいこになる確率は、$1-\displaystyle\frac{_{3}\mathrm{C}_{2}\times(2^{n}-2)}{3^n}=\displaystyle\frac{3^{n}-3\cdot 2^{n}+6}{3^{n}}$
※$n\to\infty$にすると$1$に収束する。
