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同次形
微分方程式の基本解法のひとつ、同次形の解き方、問題です。
同次形
\(y^{\prime}=f \biggl(\displaystyle\frac{y}{x}\biggr)\) の形の微分方程式。
\(u=\displaystyle\frac{y}{x}\) と置いて解く。\(y=ux\) となり、両辺\(x\)で微分すると
\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{d}{dx}(ux)=\displaystyle\frac{du}{dx}\cdot x+\displaystyle\frac{dx}{dx}\cdot u=x\displaystyle\frac{du}{dx}+u\)
これらの変形を代入することで、変数分離形に持ち込むことが出来る。つまり、微分方程式が解ける。
問題
\(x^2+y^2=2xyy^{\prime}\)
解答
\(y^{\prime}=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{x^2+y^2}{2xy}=\displaystyle\frac{\biggl(\displaystyle\frac{y}{x}\biggr)^2+1}{2\biggl(\displaystyle\frac{y}{x}\biggr)}\) （分子分母を\(x^2\)で割った）
ここで\(u=\displaystyle\frac{y}{x}\) と置く。\(y=ux\) となり、両辺\(x\)で微分すると
\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{d}{dx}(ux)=\displaystyle\frac{du}{dx}\cdot x+\displaystyle\frac{dx}{dx}\cdot u=x\displaystyle\frac{du}{dx}+u\)
これらを問題の式に代入すると
\(u+x\displaystyle\frac{du}{dx}=\displaystyle\frac{u^2+1}{2u}\) となってこれを変形すると
\(x\cdot \displaystyle\frac{du}{dx}=\displaystyle\frac{1-u^2}{2u}\)
これは変数分離で解ける形となっているのでそのまま解く。
\(u\neq \pm 1\)のとき
変数分離でそのまま解く。
\(\displaystyle\frac{2u}{u^2-1}du=-\displaystyle\frac{dx}{x}\)
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{2u}{u^2-1}du=-\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x}\) …… 両辺を積分
\(\log |u^2-1|=-\log |x|+C\)
\(x(u^2+1)=\pm e^C=A\) （\(A\)は任意定数）
\(u\)をもとに戻すと答えとなり、答えは
\(y^2=x^2+Ax\)
\(u= \pm 1\) つまり、\(\displaystyle\frac{y}{x}=\pm 1\)のとき
\(y^2=x^2\) となっていて \(A=0\) のときに対応している。
答え
まとめると、答えは以下のようになる。
\(y^2=x^2+Ax\)
