複素積分

線積分

複素関数の線積分の定義

$$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} f(t_{k})\Delta z_{k}$$

$\Delta$を0にしたときの極限値を$\displaystyle\int_{C} f(z)dz$ とかく。具体的な計算式は

$$\displaystyle\int_{C}f(z)dz=\displaystyle\int_{a}^{b}f(z(t))\cdot\displaystyle\frac{dz}{dt}\cdot dt$$

例題

$f(z)=z^2$ で、$z=t+ti$　（$0 \leq t \leq 1$）に沿った線積分の値を求める。

$\displaystyle\frac{dz}{dt}=1+i,f(z(t))=f(t+ti)=(t+ti)^2$

$\displaystyle\int_{0}^{1} f(z(t))\cdot\displaystyle\frac{dz}{dt}\cdot dt=\displaystyle\int_{0}^{1} (t+ti)^2\cdot(1+i)dt=(1+i)^3 \displaystyle\int_{0}^{1} t^2 dt=\displaystyle\frac{(1+i)^3}{3}$

コーシーの積分定理

$f(z)$は$D$で正則とする。$D$に含まれる単一閉曲線を$C$とすると以下が成立。

$$\displaystyle\int_{C} f(z)dz=0$$

※逆も成立し、モレラの定理と呼ばれる。

コーシーの積分公式

$f(z)$は$D$で正則とする。$D$に含まれる単一閉曲線を$C$とするとき以下が成立。（$\alpha$ は$C$内部。）

$$f(\alpha)=\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{f(z)}{z-\alpha}dz$$　

変形すると$\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{f(z)}{z-\alpha}dz=2\pi if(\alpha)$　となる。$n$次の場合は以下のようになる。

$$f^{(n)}(\alpha)=\displaystyle\frac{n!}{2\pi i}\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{f(z)}{(z-\alpha)^{n+1}}dz$$

例題1

$C=(z| |z|=2)$　※複素平面で原点中心半径2の円。

$$\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{e^z}{z-1}dz=2\pi ie$$

$f(z)=e^z$ 、$\alpha=1$

例題2

$C=(z| |z|=2)$　※複素平面で原点中心半径2の円。

$$\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{e^z}{z(z-3)}dz=-\displaystyle\frac{2\pi i}{3}$$

$f(z)=\displaystyle\frac{e^z}{z-3}$ 、$\alpha=0$とした。（z=0のみ内部にある。z=3は外部）

例題3

$C=(z| |z|=2)$　※複素平面で原点中心半径2の円。

$$\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{e^z}{z-3}dz=0$$

経路内部が正則なのでコーシーの積分定理より$0$。

例題4

$C=z| |z|=2$　※複素平面で原点中心半径2の円。

$$\displaystyle\int_{C}\displaystyle\frac{e^z}{(z-1)^2}dz=2\pi ie$$

n次の公式で、$f(z)=e^z$ 、$\alpha=1$、$n=1$とした。