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目次
バーゼル問題とは
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) という等式で、オイラーが解いた。
※バーゼルとはオイラーの故郷名。
証明
フーリエ変換による
\( f(x)=x^2\)を考える。（\(-\pi\leq x\leq \pi\)）
偶関数であることに注意してフーリエ級数展開する。
\(f(x) = \displaystyle\frac{a_{0}}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\cos kx \)
ここで \( a_{0} = \displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int _{-\pi}^{\pi}x^2 dx=\displaystyle\frac{1}{\pi} \biggl[\displaystyle\frac{x^3}{3} \biggr]_{-\pi}^{\pi}=\displaystyle\frac{2}{3}\pi^2 \)
および \(a_{k}=\displaystyle\frac{4}{k^2}(-1)^k\)
より \(a_{0}\) と \(a_{k}\) を代入すると
\(x^2=\displaystyle\frac{\pi^2}{3} + 4\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^k\cos kx}{k^2} \) ※フーリエ級数。
\(x=\pi\)を代入して整理すると \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\)
三角関数級数展開による
\(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\)を2通りに表して比較します。オイラーが最初に等式を導いたときにこの方法で解いたそうです。
① \(\sin x\)をマクローリン展開
\(\sin x=x-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^5}{5!}-\displaystyle\frac{x^7}{7!}+\cdots\)
\(\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1-\displaystyle\frac{x^2}{3!}+\displaystyle\frac{x^4}{5!}-\displaystyle\frac{x^6}{7!}+\cdots\)
② \(\sin x\)を因数分解
\(\sin x=0\) の解は \(x=n\pi\) です。因数定理を用いると以下のように形式的に因数分解できます。
\(\sin x=x(1-\displaystyle\frac{x}{\pi})(1+\displaystyle\frac{x}{\pi})(1-\displaystyle\frac{x}{2\pi})(1+\displaystyle\frac{x}{2\pi})(1-\displaystyle\frac{x}{3\pi})(1+\displaystyle\frac{x}{3\pi})\cdots\)
\(\displaystyle\frac{\sin x}{x}=(1-\displaystyle\frac{x^2}{\pi^2})(1-\displaystyle\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\displaystyle\frac{x^2}{9\pi^2})\cdots\)
※厳密には \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \biggl(1-\displaystyle\frac{x^2}{n^2\pi^2}\biggr)\) は三角関数の無限乗積展開というもの。
係数比較
上の二式の \(x^2\)の係数を比較する。
\(-\displaystyle\frac{1}{3!}=-\displaystyle\frac{1}{\pi^2}-\displaystyle\frac{1}{4\pi^2}-\displaystyle\frac{1}{9\pi^2}\cdots=-\displaystyle\frac{1}{\pi^2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2}\)
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) が導かれる。
パーセバル等式
「パーセバル等式」
\(\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} {f(x)}^2 dx=\displaystyle\frac{a_{0}^2}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}^2+b_{n}^2)\)
\(a_{0}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx\)
\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx\)
\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \sin nx dx\)
ここで \(f(x)=x\) とおくと、奇関数なので \(a_{0}\)、\(a_{n}\)は0。
\(b_{n}\)を部分積分で求めると（計算略）
\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} x\sin nx dx=\displaystyle\frac{2}{n}(-1)^{n-1}\)
となるので、これらをパーセバルの等式に代入する。
\(\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x^2 dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{4}{n^2}\)
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) が導かれる。
