[mathjax]
2次元の超球の体積（円の面積）は \(4\pi r^2\)。
3次元の超球の体積（球の体積）は \(\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)。
これを一般化します。
表面積は体積を微分するだけなので、とりあえず体積だけを考えていきます。
目次
準備
超球の体積とは\(x_{1}^2+x_{2}^2+\cdots +x_{n}^2\leq r^2\)の領域の体積。
超球の体積を\(V_{n}\)とする。
上のことからも分かるように、\(n\)次元の超球は\(r^n\)に比例します。
これを式で書くと \(V_{n}=c_{n} r^n\) （\(c_{n}\)は定数）
微分すると \(S_{n}=r c_{n}r^{n-1}\) という関係式も得られる。
\(I_{n}\)
唐突ですが、以下のものを考えます。
\(I_{n}=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \cdots \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x_{1}^2+x_{2}^2+\cdots +x_{n}^2)} dx_{1} dx_{2}\cdots dx_{n}\)
これを二通りの方法で計算します。
その1
\(I_{n}=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x_{1}^2} dx_{1}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x_{2}^2} dx_{2}\cdots \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x_{n}^2} dx_{n}\)
\(=\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}\cdots \sqrt{\pi}\)
\(=\pi^{\frac{n}{2}}\)
その2
\(I_{n}=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \cdots \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x_{1}^2+x_{2}^2+\cdots +x_{n}^2)} dx_{1} dx_{2}\cdots dx_{n}\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} S_{n} dr\)
※表面積（超球の体積の一次元下）が\(0\leq r\leq \infty\)を動くことで全域を網羅する。
\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} n c_{n} r^{n-1} dr\) （準備部分の式を利用）
\(=n c_{n} \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r^{n-1} dr\) （r依存ない部分を前に）
\(=n c_{n} \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{\frac{n-1}{2}} \displaystyle\frac{dt}{2\sqrt{t}}\) （\(t=r^2\)とした。）
\(=\displaystyle\frac{n c_{n}}{2} \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{\frac{n}{2}-1}dt\)
\(=\displaystyle\frac{n}{2} c_{n}\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{n}{2}\biggr)\) （\(\Gamma(p) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{p-1} dx\)）
\(=c_{n}\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{n}{2}+1\biggr)\) （\(\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)\)を使用。）
ガンマ関数は以下にまとめてあります。
結果
1と2で計算したものは共に\(I_{n}\)なのでこれを比較します。
\(\pi^{\frac{n}{2}}=c_{n}\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{n}{2}+1\biggr)\)
\(c_{n}=\displaystyle\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{n}{2}+1\biggr)}\)
これを最初の超球の体積の式に代入します。（\(c_{n}\)がほしかった。）
\(V_{n}=\displaystyle\frac{\pi^{\frac{n}{2}} r^n}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{n}{2}+1\biggr)}\)
が\(n\)次元超球の体積となります。表面積はこれを微分すればよいので
\(S_{n}=\displaystyle\frac{n\pi^{\frac{n}{2}} r^{n-1}}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{n}{2}+1\biggr)}\)
確認
\(n=2\)
\(V_{2}=\displaystyle\frac{\pi r^2}{\Gamma(2)}\)
\(\Gamma(2)=(2-1)!=1\)より \(V_{2}=\pi r^2\)となり、円の面積になっている。
\(n=3\)
\(V_{3}=\displaystyle\frac{\pi^{\frac{3}{2}} r^3}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)}\)
\(\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\pi}\)より \(V_{3}=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)となり、円の体積になっている。
例、4次元単位球の体積
\(n=4\)、\(r=1\)として
\(V_{4}=\displaystyle\frac{\pi^2}{\Gamma(3)}\)\(=\displaystyle\frac{\pi^2}{2}\)
※ \(\Gamma(3)=2!=2\)
