\(\displaystyle\frac{1}{\sin x}\)の積分についてです。
目次
その1 ノーマル解法
教科書はこのやり方が載っていた気がします。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin^2 x}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{1-\cos^2 x}dx\)
\(t=\cos x\)とおく。\(dt=-\sin x dx\)であるので
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{-dt}{1-t^2}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t-1)(t+1)}\)
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\displaystyle\frac{1}{t-1}-\displaystyle\frac{1}{t+1}\biggr)dt\) （部分分数分解）
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl|\displaystyle\frac{t-1}{t+1}\biggr|+C\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl|\displaystyle\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\biggr|+C\) （変数をもとに戻す）
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl(\displaystyle\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\biggr)+C\) （\(1-\cos x>0\)のため。）
※\(1-\cos x>0\)に等号がつかないのは、問題の分母は0ではない（\(\sin x\neq 0\)）ので\(\cos x\neq 1\)となるため。
その2 ワイエルシュトラス置換
$t=\tan \displaystyle\frac{x}{2}$とおくワイエルシュトラス置換を利用する。
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}}} \cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t}=\log t + C\)\(=\log \left| \tan \displaystyle\frac{x}{2} \right|+ C\)
この置換については以下に書いています。
その3 半角
\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2\sin \displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2\cos^2 \displaystyle\frac{x}{2}\tan\displaystyle\frac{x}{2}}\)
ここで\(\biggl(\tan \displaystyle\frac{x}{2}\biggr)^{\prime}=\displaystyle\frac{1}{2\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}}\)より
\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\biggl(\tan\displaystyle\frac{x}{2}\biggr)^{\prime}}{\tan\displaystyle\frac{x}{2}}dx=\log\biggl|\tan \displaystyle\frac{x}{2}\biggr|+C\)
