フーリエ解析

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デルタ関数

デルタ関数 説明 下の二つの性質を満たすものをデルタ関数という。   ① \(\delta (x)=\begin{cases} 0 & \text{$(x\neq 0)$} \\ \infty & \text{$(x=0...
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バーゼル問題 

  バーゼル問題とは \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) という等式で、オイラーが解い...
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フーリエ変換

  フーリエ変換     フーリエ変換 \(F(x)\)を\(f(k)\)のフーリエ変換という。 \(F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(k) e^{-ikx}dk\)   フーリエ...
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∆(1/r)

  \(\Delta\displaystyle\frac{1}{r}\)     等式 結果を先に示しておく。   \(\Delta\displaystyle\frac{1}{r}=-4\pi\delta(\boldsymbol{r}...
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フーリエ級数に関連した等式

フーリエ級数に関連した等式を2つ紹介、証明します。   問題 以下を証明する。 1番 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyl...
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パーセバルの等式

  パーセバルの等式   パーセバルの等式とは \(f(x)\)のフーリエ級数の係数に関して、以下がパーセバルの等式です。   \(\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^...
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フーリエ級数展開(一般周期)

\(2\pi\)の範囲で計算したフーリエ級数を一般の周期(\(2L\))に拡張する。   \(x=\displaystyle\frac{\pi}{T}t\)という変換をする。     フーリエ級数展開   \(f(x)=\displa...
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フーリエ級数展開(周期2π)

フーリエ級数展開するとは、関数を三角関数の和で表すこと。 今回は周期\(2\pi\)の周期関数\(f(x)\)を三角関数の和として表す。     フーリエ級数展開 次のような関数\(f(x)\)の展開のことをフーリエ級数展開という。 ...
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