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目次
1/12公式
\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\)
証明
\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2(x-\beta) dx\)
\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{3}(x-\alpha)^3(x-\beta)\biggr]_{\alpha}^{\beta}-\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \displaystyle\frac{1}{3}(x-\alpha)^3 dx\) 部分積分
\(=-\biggl[\displaystyle\frac{1}{12}(x-\alpha)^4\biggr]_{\alpha}^{\beta}\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\)
一般化
一般化した公式は以下の記事のぜひ。
面積計算
\(\displaystyle\frac{1}{12}\)公式を使って、色塗り部の面積（\(=S\)）を求める。
\(S=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \biggl[(ex+f)-(ax^3+bx^2+cx+d)\biggr]dx\) 面積
\(=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)^2 (x-\beta) dx\) 因数分解
\(=-a\cdot\biggl[-\displaystyle\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\biggr]\) ※\(\displaystyle\frac{1}{12}\)公式
\(=\displaystyle\frac{a}{12}(\beta-\alpha)^4\)
\(a<0\)の時も考えると面積は \(S=\displaystyle\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\)
こちらを\(\displaystyle\frac{1}{12}\)公式ということも多い。
問題
\(f(x)=x^3-x\) の \(x=-2\) での接線と\(f(x)\)が囲む領域の面積は？
解答
\(x=-2\) での接線の式は \(y+6=11(x+2)\)より \(y=11x+16\)
この直線と\(f(x)\)の交点は\((4 , 60)\)。
よって面積は
\(S=\displaystyle\int_{-2}^{4} \biggl[(11x+16)-(x^3-x)\biggr]dx\)
\(=\displaystyle\int_{-2}^{4} -(x+2)^2 (x-4) dx\) 因数分解
\(=-\biggl[-\displaystyle\frac{1}{12}(4-(-2))^4\biggr]\) ※\(\displaystyle\frac{1}{12}\)公式
\(=108\)