1/6公式の一般化

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1/6公式の一般化

 

一般形

\(\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx\)

 

\(m=1,n=1\) の場合は\(\displaystyle\frac{1}{6}\)公式。

 

\(m=2,n=1\) の場合は\(\displaystyle\frac{1}{12}\)公式。

 

\(m=2,n=2\) の場合は\(\displaystyle\frac{1}{30}\)公式。

 

 計算結果は次のようになります。

 

 \(\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx\)

 

\(=\displaystyle\frac{(-1)^n m!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}\)

 

導出1

 部分積分によって地道にやっていきます。

 

\(\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx\)

 

\(\biggl[\displaystyle\frac{1}{m+1}(x-a)^{m+1}(x-b)^n\biggr]_{a}^{b}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{n}{m+1}(x-a)^{m+1}(x-b)^{n-1}dx\)

 

第一項は0となり消えます。続けていくと最後まで消え続け、第二項の影響のみになります。積分をしていくと結果として

 

\(\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n-1)!}\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\frac{(x-a)^{m+n}}{m+n}dx\)

 

 一度部分積分するたびに \(-1\) がかかります。

また係数は

 

\(\displaystyle\frac{n}{m+1}\cdot\displaystyle\frac{n-1}{m+2}\cdots\displaystyle\frac{2}{m+n-1}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots m \cdot n!}{1\cdot 2\cdot 3\cdots m(m+1)\cdots (m+n-1)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{m!n!}{(m+n-1)!}\)

 

となるのでこのように書けます。

これを積分すると

 

 \(\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx\)

 

\(=\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n-1)!}\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\frac{(x-a)^{m+n}}{m+n}dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}\)

という結果になります。

 

導出2

 積分区間を0から1に変更してベータ関数の性質を利用する。

こちらのほうが計算ミスは少なくできそうです。

 

\(\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx\)

 

\(x=(b-a)t+a\) という置き換えをする。(これで積分区間を0から1にできる)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{1}(b-a)^mt^m(b-a)^n(t-1)^n(b-a)dt\)

 

 tによらない部分を外に出す。

 

\(=(-1)^n(b-a)^{m+n+1}\displaystyle\int_{0}^{1}t^m(1-t)^n dt\)

 

\(=(-1)^n(b-a)^{m+n+1} B(m+1,n+1)\)

 

\(=(-1)^n(b-a)^{m+n+1} \displaystyle\frac{Γ(m+1)Γ(n+1)}{Γ(m+n+2)}\)

 

\(=\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}\)

 

 

 

ベータ関数の性質等の記事はこちらにまとめました。

 

ガンマ関数とベータ関数の性質と例題解説をやっていきます。

 

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