1/6公式の一般化

$\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx$

$m=1,n=1$　の場合は　$\displaystyle\frac{1}{6}$公式。

$m=2,n=1$　の場合は　$\displaystyle\frac{1}{12}$公式。

$m=2,n=2$　の場合は　$\displaystyle\frac{1}{30}$公式。

一般の場合

$\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx$$=\displaystyle\frac{(-1)^n m!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}$

部分積分をする。

$\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx$

$=\biggl[\displaystyle\frac{1}{m+1}(x-a)^{m+1}(x-b)^n\biggr]_{a}^{b}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{n}{m+1}(x-a)^{m+1}(x-b)^{n-1}dx$

第一項は0となり消えます。続けていくと最後まで消え続け、第二項の影響のみになります。積分をしていくと結果として

$\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n-1)!}\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\frac{(x-a)^{m+n}}{m+n}dx$

一度部分積分するたびに $-1$ がかかります。また係数は

$\displaystyle\frac{n}{m+1}\cdot\displaystyle\frac{n-1}{m+2}\cdots\displaystyle\frac{2}{m+n-1}$

$=\displaystyle\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots m \cdot n!}{1\cdot 2\cdot 3\cdots m(m+1)\cdots (m+n-1)}$

$=\displaystyle\frac{m!n!}{(m+n-1)!}$

となるのでこのように書けます。これを積分すると

$\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx$

$=\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n-1)!}\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\frac{(x-a)^{m+n}}{m+n}dx$

$=\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}$

積分区間を0から1に変更してベータ関数の性質を利用する。

$\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx$

$x=(b-a)t+a$ という置き換えをする。（これで積分区間を0から1にできる）

$\displaystyle\int_{0}^{1}(b-a)^mt^m(b-a)^n(t-1)^n(b-a)dt$

$=(-1)^n(b-a)^{m+n+1}\displaystyle\int_{0}^{1}t^m(1-t)^n dt$

※tによらない部分を外に出す。

$=(-1)^n(b-a)^{m+n+1} B(m+1,n+1)$

$=(-1)^n(b-a)^{m+n+1} \displaystyle\frac{Γ(m+1)Γ(n+1)}{Γ(m+n+2)}$

$=\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}$

ベータ関数の性質等の記事はこちらにまとめました。