[mathjax]
目次
1/6公式
\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)
証明
\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx\)
\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}(x-\alpha)^2(x-\beta)\biggr]_{\alpha}^{\beta}-\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \displaystyle\frac{1}{2}(x-\alpha)^2 dx\) 部分積分
\(=-\biggl[\displaystyle\frac{1}{6}(x-\alpha)^3\biggr]_{\alpha}^{\beta}\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)
一般化
一般化した公式は以下の記事のぜひ。
面積計算
\(\displaystyle\frac{1}{6}\)公式を使って、色塗りの面積（\(=S\)）を求める。
\(S=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \biggl[(dx+e)-(ax^2+bx+c)\biggr]dx\) 面積
\(=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)(x-\beta) dx\) 因数分解
\(=-a\cdot\biggl[-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\biggr]\) ※\(\displaystyle\frac{1}{6}\)公式
\(=\displaystyle\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3\)
\(a<0\)の時も考えると面積は \(S=\displaystyle\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3\)
面積計算するとき、これに完全に代入するよりも\(\displaystyle\frac{1}{6}\)公式部分だけ公式利用する方が利用範囲も広くて良い。
問題
\(y=2x-4\)、\(y=x^2-3x\)で囲まれる面積\(S\)は？
公式使用
交点の\(x\)座標は \(x=1,4\) より
\(S=\displaystyle\frac{|1|}{6}(4-1)^3=\displaystyle\frac{9}{2}\)
証明の流れで公式利用
\(S=\displaystyle\int_{1}^{4} \biggl[(2x-4)-(x^2-3x)\biggr]dx\) 面積
\(=-\displaystyle\int_{1}^{4} (x^2-5x+4) dx\)
\(=-\displaystyle\int_{1}^{4} (x-1)(x-4) dx\)
\(=\displaystyle\frac{1}{6}(4-1)^3\) ※\(\displaystyle\frac{1}{6}\)公式
\(=\displaystyle\frac{9}{2}\)
実際に計算
\(S=\displaystyle\int_{1}^{4} \biggl[(2x-4)-(x^2-3x)\biggr]dx\) 面積
\(=-\displaystyle\int_{1}^{4} (x^2-5x+4) dx\)
\(=-\biggl[\displaystyle\frac{1}{3}x^3-\displaystyle\frac{5}{2}x^2+4x\biggr]_{1}^{4}\)
\(=\displaystyle\frac{9}{2}\)