1/6公式

シェアする

 

1/6公式

\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\) 

 

証明

\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx\)

 

\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}(x-\alpha)^2(x-\beta)\biggr]_{\alpha}^{\beta}-\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \displaystyle\frac{1}{2}(x-\alpha)^2 dx\)  部分積分

 

\(=-\biggl[\displaystyle\frac{1}{6}(x-\alpha)^3\biggr]_{\alpha}^{\beta}\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)

 

一般化

一般化した公式は以下の記事のぜひ。

 

有名な1/6公式を一般化した式についての解説です。一般化した等式の紹介及びその導出を2通りの方法で計算しています。

 

面積計算

 

 

\(\displaystyle\frac{1}{6}\)公式を使って、色塗りの面積(\(=S\))を求める。

 

\(S=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \biggl[(dx+e)-(ax^2+bx+c)\biggr]dx\)  面積

 

\(=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)(x-\beta) dx\) 因数分解

 

\(=-a\cdot\biggl[-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\biggr]\) ※\(\displaystyle\frac{1}{6}\)公式

 

\(=\displaystyle\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3\)

 

\(a<0\)の時も考えると面積は \(S=\displaystyle\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3\)

 

面積計算するとき、これに完全に代入するよりも\(\displaystyle\frac{1}{6}\)公式部分だけ公式利用する方が利用範囲も広くて良い。

 

 

問題

\(y=2x-4\)、\(y=x^2-3x\)で囲まれる面積\(S\)は?

 

公式使用

交点の\(x\)座標は \(x=1,4\) より

 

\(S=\displaystyle\frac{|1|}{6}(4-1)^3=\displaystyle\frac{9}{2}\)

 

 

証明の流れで公式利用

\(S=\displaystyle\int_{1}^{4} \biggl[(2x-4)-(x^2-3x)\biggr]dx\)  面積

 

\(=-\displaystyle\int_{1}^{4} (x^2-5x+4) dx\) 

 

\(=-\displaystyle\int_{1}^{4} (x-1)(x-4) dx\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{6}(4-1)^3\) ※\(\displaystyle\frac{1}{6}\)公式

 

\(=\displaystyle\frac{9}{2}\)

 

 

 

実際に計算

\(S=\displaystyle\int_{1}^{4} \biggl[(2x-4)-(x^2-3x)\biggr]dx\)  面積

 

\(=-\displaystyle\int_{1}^{4} (x^2-5x+4) dx\)

 

\(=-\biggl[\displaystyle\frac{1}{3}x^3-\displaystyle\frac{5}{2}x^2+4x\biggr]_{1}^{4}\) 

 

\(=\displaystyle\frac{9}{2}\)

 

シェアする