「脱出！恐怖の骨川ハウス」で出題されていた問題です。
目次
問題
\( F(a)=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-a\cos x|dx\) を最小にする\(a\)の値を求めよ。
解答
場合分けをします.\(a\)の値によって絶対値の外し方が変わる.
\(a \leq 0\)の時
積分範囲は\(0\leq x\leq\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
\(\sin x\geq 0\)かつ \(\cos x \geq 0\) より \(\sin x-a\cos x \geq 0\)となり絶対値が外せます.
\(F(a)=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-a\cos x)dx=\biggl[-\cos x-a\sin x\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)\(=1-a\)
\(a=0\) で最小値１をとる.
\(a > 0\)の時
絶対値中身
\( g(x)=\sin x-a\cos x\) とおく。
\(g'(x)=\cos x+a\cos x\)
\(0\leq x\leq\displaystyle\frac{\pi}{2}\) より \(g'(x)\geq 0\)
\(g(0)=-a<0\) かつ \(g(\displaystyle\frac{\pi}{2})=1>0\) より増減表は以下.
| \(x\) | \(0\) | \(t\) | \(\frac{\pi}{2}\) | ||
| \(g'(x)\) | + | + | + | ||
| \(g(x)\) | \(-a\) | ↗ | \(0\) | ↗ | \(1\) |
※\(t\) は \(g(t)=0\) となるような数.
$$\begin{cases} g(x)\leq 0 & \text{$(0 \leq x\leq t)$} \\ g(x)\geq 0 & \text{$(t \leq x\leq \displaystyle\frac{\pi}{2})$} \end{cases}$$
全体
\(F(a)=\displaystyle\int_{0}^{t}(-\sin x+a\cos x)dx+\displaystyle\int_{t}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-a\cos x)dx\)
\(=\biggl[\cos x+a\sin x\biggr]_{0}^{t}+\biggl[-\cos x-a\sin x\biggr]_{t}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=2a\sin t+2\cos t-a-1\)
\(g(t)=0\) を考えると \(\tan t=a\) が導かれる.また
\(\cos t=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 t}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\)
\(=2a\times a\times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+2\times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}-a-1\)
\(=2\sqrt{1+a^2}-a-1\)
\(F'(a)=\displaystyle\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}-1\)
\(F'(a)=0\) となるのは\(a>0\) より \(a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\) の時.
増減表は以下の通り
| \(a\) | \(0\) | \(\frac{1}{\sqrt3}\) | ||
| \(F'(a)\) | \(-\) | \(0\) | ＋ | |
| \(F(a)\) | ↘ | \(\sqrt3-1\) | ↗ |
\(F(a)\) は \(a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\)の時,最小となる.
答え
\(a=\displaystyle\frac{1}{\sqrt3}\) の時最小になる. \(F(a)=\sqrt3-1\)
