1/6公式の一般化

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目次

1/6公式の一般化

一般形

\(\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx\)

 

\(m=1,n=1\) の場合は \(\displaystyle\frac{1}{6}\)公式。

1/6公式
1/6公式\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)  証明\(\displ

 

\(m=2,n=1\) の場合は \(\displaystyle\frac{1}{12}\)公式。

1/12公式
1/12公式\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\)  証明\(\

 

\(m=2,n=2\) の場合は \(\displaystyle\frac{1}{30}\)公式。

1/30公式
1/30公式\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x-\beta)^2dx=\displaystyle\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^5\)  証明\(

 

一般の場合

 \(\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx\)\(=\displaystyle\frac{(-1)^n m!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}\)

 

導出1

\(\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx\)

\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{m+1}(x-a)^{m+1}(x-b)^n\biggr]_{a}^{b}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{n}{m+1}(x-a)^{m+1}(x-b)^{n-1}dx\)

積分をしていくと結果として

\(=\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n-1)!}\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\frac{(x-a)^{m+n}}{m+n}dx\)

\(=\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}\)

 

途中の積分について,一度部分積分するたびに \(-1\) がかかります.係数は

\(\displaystyle\frac{n}{m+1}\cdot\displaystyle\frac{n-1}{m+2}\cdots\displaystyle\frac{2}{m+n-1}\)

\(=\displaystyle\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots m \cdot n!}{1\cdot 2\cdot 3\cdots m(m+1)\cdots (m+n-1)}\)

\(=\displaystyle\frac{m!n!}{(m+n-1)!}\)

 

導出2

 積分区間を0から1に変更してベータ関数の性質を利用する。

\(\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx\)

\(x=(b-a)t+a\) という置き換えをする

\(\displaystyle\int_{0}^{1}(b-a)^mt^m(b-a)^n(t-1)^n(b-a)dt\)

\(=(-1)^n(b-a)^{m+n+1}\displaystyle\int_{0}^{1}t^m(1-t)^n dt\)

\(=(-1)^n(b-a)^{m+n+1} B(m+1,n+1)\)

\(=(-1)^n(b-a)^{m+n+1} \displaystyle\frac{Γ(m+1)Γ(n+1)}{Γ(m+n+2)}\)

\(=\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}\)

 

 

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