目次
1/6公式の一般化
一般形
\(\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx\)
\(m=1,n=1\) の場合は \(\displaystyle\frac{1}{6}\)公式。
\(m=2,n=1\) の場合は \(\displaystyle\frac{1}{12}\)公式。
\(m=2,n=2\) の場合は \(\displaystyle\frac{1}{30}\)公式。
一般の場合
\(\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx\)\(=\displaystyle\frac{(-1)^n m!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}\)
導出1
\(\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx\)
\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{m+1}(x-a)^{m+1}(x-b)^n\biggr]_{a}^{b}-\displaystyle\int\displaystyle\frac{n}{m+1}(x-a)^{m+1}(x-b)^{n-1}dx\)
積分をしていくと結果として
\(=\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n-1)!}\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\frac{(x-a)^{m+n}}{m+n}dx\)
\(=\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}\)
途中の積分について,一度部分積分するたびに \(-1\) がかかります.係数は
\(\displaystyle\frac{n}{m+1}\cdot\displaystyle\frac{n-1}{m+2}\cdots\displaystyle\frac{2}{m+n-1}\)
\(=\displaystyle\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots m \cdot n!}{1\cdot 2\cdot 3\cdots m(m+1)\cdots (m+n-1)}\)
\(=\displaystyle\frac{m!n!}{(m+n-1)!}\)
導出2
積分区間を0から1に変更してベータ関数の性質を利用する。
\(\displaystyle\int_{a}^{b}(x-a)^m(x-b)^ndx\)
\(x=(b-a)t+a\) という置き換えをする
\(\displaystyle\int_{0}^{1}(b-a)^mt^m(b-a)^n(t-1)^n(b-a)dt\)
\(=(-1)^n(b-a)^{m+n+1}\displaystyle\int_{0}^{1}t^m(1-t)^n dt\)
\(=(-1)^n(b-a)^{m+n+1} B(m+1,n+1)\)
\(=(-1)^n(b-a)^{m+n+1} \displaystyle\frac{Γ(m+1)Γ(n+1)}{Γ(m+n+2)}\)
\(=\displaystyle\frac{(-1)^nm!n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+n+1}\)
