1/12公式

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1/12公式

\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2 (x-\beta)dx=-\displaystyle\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\) 

 

証明

\(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2(x-\beta) dx\)

 

\(=\biggl[\displaystyle\frac{1}{3}(x-\alpha)^3(x-\beta)\biggr]_{\alpha}^{\beta}-\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \displaystyle\frac{1}{3}(x-\alpha)^3 dx\)  部分積分

 

\(=-\biggl[\displaystyle\frac{1}{12}(x-\alpha)^4\biggr]_{\alpha}^{\beta}\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\)

 

一般化

一般化した公式は以下の記事のぜひ。

 

1/6公式の一般化の式についての解説です。

 

面積計算

 

 

\(\displaystyle\frac{1}{12}\)公式を使って、斜線部の面積(\(=S\))を求める。

 

\(S=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \biggl[(ex+f)-(ax^3+bx^2+cx+d)\biggr]dx\)  面積

 

\(=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)^2 (x-\beta) dx\) 因数分解

 

\(=-a\cdot\biggl[-\displaystyle\frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\biggr]\) ※\(\displaystyle\frac{1}{12}\)公式

 

\(=\displaystyle\frac{a}{12}(\beta-\alpha)^4\)

 

\(a<0\)の時も考えると面積は \(S=\displaystyle\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\)

 

こちらを\(\displaystyle\frac{1}{12}\)公式ということも多い。

 

問題

\(f(x)=x^3-x\) の \(x=-2\) での接線と\(f(x)\)が囲む領域の面積は?

 

解答

\(x=-2\) での接線の式は \(y+6=11(x+2)\)より \(y=11x+16\)

 

この直線と\(f(x)\)の交点は\((4 , 60)\)。

 

よって面積は

 

\(S=\displaystyle\int_{-2}^{4} \biggl[(11x+16)-(x^3-x)\biggr]dx\) 

 

\(=\displaystyle\int_{-2}^{4} -(x+2)^2 (x-4) dx\) 因数分解

 

\(=-\biggl[-\displaystyle\frac{1}{12}(4-(-2))^4\biggr]\) ※\(\displaystyle\frac{1}{12}\)公式

 

\(=108\)

 

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