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ヒーローアカデミア 積分
ぼくのヒーローアカデミアというアニメに難問積分が出ていたということなので解いていきます。
問題
\(\displaystyle\int_{0}^{\log(1+\sqrt{2})} \left(\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^3 \left(\displaystyle\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^{11} dx\)
解答
双曲線関数を使います。双曲線関数の基本をまとめておきます。
\(\cosh x=\displaystyle\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)
\(\sinh x=\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)
\(\cosh x^2-\sinh x^2=1\)
\((\sinh x)^{\prime}=\cosh x\)
これらを用いて問題の積分を解いていきます。
\(\displaystyle\int_{0}^{\log(1+\sqrt{2})} \left(\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^3 \left(\displaystyle\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^{11} dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\log(1+\sqrt{2})} \sinh^3 x\cosh^{11} x dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\log(1+\sqrt{2})} (\cosh^{13} x-\cosh^{11} x) \sinh xdx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{14}\cosh^{14} x-\displaystyle\frac{1}{12}\cosh^{12} x\right]_{0}^{\log(1+\sqrt{2})}\)
\(=\displaystyle\frac{107}{28}\)
※\(x=0\) のとき \(\cosh x=1\)
※\(x=\log(1+\sqrt{2})\) のとき \(\cosh x=\sqrt{2}\)
