目次
ルジャンドル多項式
定義
\(\displaystyle\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)\right]+\lambda(\lambda+1)f(x)=0\)
の解\(P_{n}(x)\)をルジャンドル多項式という。
一般形
\(P_{n}(x)=\displaystyle\frac{1}{2^n n!}\displaystyle\frac{d^n}{dx^n}\left[(x^2-1)^n\right]\)
具体形
\(P_{0}(x)=1\)
\(P_{1}(x)=x\)
\(P_{2}(x)=\displaystyle\frac{3}{2}x^2-\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(P_{3}(x)=\displaystyle\frac{5}{2}x^3-\displaystyle\frac{3}{2}x\)
母関数
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}(x) t^n\)
性質
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} P_{m}(x)P_{n}(x) dx=\displaystyle\frac{2}{2n+1}\delta_{mn}\)
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} x^m P_{n}(x) dx=0\) （\(m<n\)のとき）
物理での応用
多重極展開、ラプラス方程式の\(\theta\)方向解
ルジャンドル陪多項式
\((1-t^2)y^{\prime\prime}-2ty^{\prime}+\left(k(k+1)-\displaystyle\frac{m^2}{1-t^2}\right)y=0\)
の解を\(P_{k}^{m} (t)\)と書き、ルジャンドル陪多項式という。
