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エルミート多項式
定義
\(\left(\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}-2x\displaystyle\frac{d}{dx}+2n\right)H_{n}(x)=0\)
の解\(H_{n}(x)\)をエルミート多項式という。
一般形
\(H_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^2}\displaystyle\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\)
具体形
\(H_{0}(x)=1\)
\(H_{1}(x)=2x\)
\(H_{2}(x)=4x^2-2\)
母関数
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x)\displaystyle\frac{y^n}{n!}=e^{-y^2+2xy}\)
性質
\(H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)\)
\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}2^n n! \delta_{mn}\)
物理での応用
調和振動子の波動関数部分にでてくる。
