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目次
2倍角公式
公式
\(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)
\(\cos 2\theta=2\cos^2 \theta-1=1-2\sin^2\theta\)
\(\tan\theta=\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)
証明1
加法定理で\((\theta+\theta)\)のように代入するだけです。
\(\sin 2\theta=\sin(\theta+\theta)=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta\)\(=2\sin\theta\cos\theta\)
\(\cos 2\theta=\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta\)\(=2\cos^2\theta-1=1-\sin^2 \theta\)
\(\tan 2\theta=\tan(\theta+\theta)=\displaystyle\frac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta}=\)\(\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2 \theta}\)
※\(\tan 2\theta\)は次のようにしてもよい。
\(\tan 2\theta=\displaystyle\frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta}=\displaystyle\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}\)\(=\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2 \theta}\)
最後は分子分母を\(\cos^2 \theta\)で割った。
証明2
ド・モアブルの定理で\(n=2\)とします。
\(\cos^2 x-\sin ^2 x+2i\sin x\cos x=\cos 2x+i\sin 2x\)
実部、虚部を比較すると
\(\cos^2 x-\sin ^2 x=\cos 2x\)
\(2\sin x\cos x=\sin 2x\)
が導出できる。
3倍角公式
公式
\(\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)
\(\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\)
\(\tan 3\theta=\displaystyle\frac{3\tan\theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}\)
証明1
加法定理で\((2\theta+\theta)\)と代入して、途中で二倍角公式を利用します。
\(\sin 3\theta\)
\(\sin 3\theta=\sin(2\theta+\theta)=\sin 2\theta\cos\theta+\cos 2\theta\sin\theta\)
\(=2\sin\theta\cos\theta\cos\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta\) 二倍角公式
\(=2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-2\sin^3\theta\)
\(=3\sin\theta-4\sin^3 \theta\)
\(\cos 3\theta\)
\(\cos 3\theta=\cos(2\theta+\theta)=\cos 2\theta\cos\theta-\sin 2\theta\sin\theta\)
\(=(2\cos^2 \theta-1)\cos\theta-2\sin\theta\cos\theta\sin\theta\) 二倍角公式
\(=2\cos^3\theta-\cos\theta-2\cos\theta(1-\cos^2 \theta)\)
\(=4\cos^3 \theta-3\cos \theta\)
\(\tan 3\theta\) その1
\(\tan 3\theta=\tan(2\theta+\theta)=\displaystyle\frac{\tan 2\theta+\tan\theta}{1-\tan 2\theta\tan\theta}\)
\(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2 \theta}+\tan\theta}{1-\displaystyle\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2 \theta}\cdot\tan\theta}\) 二倍角公式
\(=\displaystyle\frac{2\tan\theta+\tan\theta(1-\tan^2 \theta)}{(1-\tan^2 \theta)-2\tan^2 \theta}\) 分子分母に\((1-\tan^2 \theta)\)をかける。
\(=\displaystyle\frac{3\tan\theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}\)
\(\tan 3\theta\) その2
\(\tan 3\theta=\displaystyle\frac{\sin 3\theta}{\cos 3\theta}=\displaystyle\frac{3\sin\theta-4\sin^3 \theta}{4\cos^3\theta-3\cos\theta}\)
\(=\displaystyle\frac{3\tan\theta-4\sin^2 \theta\tan\theta}{4\cos^2\theta-3}=\displaystyle\frac{3\tan\theta-4(1-\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2 \theta})\tan\theta}{4\displaystyle\frac{1}{1+\tan^2\theta}-3}\)
\(=\displaystyle\frac{-\tan\theta-\tan^3\theta+4\tan\theta}{4-3-3\tan^2\theta}\)\(=\displaystyle\frac{3\tan\theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}\)
証明2
ド・モアブルの定理で\(n=3\)とします。
\(\cos^3 x-3\cos x\sin ^2 x+i(3\cos ^2 x\sin x-\sin ^3 x)=\cos 3x+i\sin 3x\)
\((4\cos ^3 x-3\cos x)+i(3\sin x-4\sin ^3 x)=\cos 3x+i\sin 3x\)
実部と虚部を比較すると
\(4\cos ^3 x-3\cos x=\cos 3x\)
\(3\sin x-4\sin ^3 x=\sin 3x\)
が導出できる。
半角公式
公式
\(\sin^2 \displaystyle\frac{\theta}{2}=\displaystyle\frac{1-\cos\theta}{2}\)
\(\cos^2 \displaystyle\frac{\theta}{2}=\displaystyle\frac{1+\cos\theta}{2}\)
証明
\(\cos \alpha\)の2倍角公式から導きます。
① \(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\)を式変形すると\(\sin^2 \alpha=\displaystyle\frac{1-\cos 2\alpha}{2}\)
\(\theta=2\alpha\)とすると\(\sin^2 \displaystyle\frac{\theta}{2}=\displaystyle\frac{1-\cos\theta}{2}\)
② \(\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\)を式変形すると\(\cos^2 \alpha=\displaystyle\frac{1+\cos 2\alpha}{2}\)
\(\theta=2\alpha\)とすると\(\cos^2 \displaystyle\frac{\theta}{2}=\displaystyle\frac{1+\cos\theta}{2}\)
