積和、和積公式まとめ

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この公式は加法定理から出せるので覚えなくてよい。

積和公式

①　\(\sin \alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\biggr]\)

②　\(\cos \alpha\sin\beta=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\biggr]\)

③　\(\cos \alpha\cos\beta=\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\biggr]\)

④　\(\sin \alpha\sin\beta=-\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\biggr]\)

加法定理から導きます。

・\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)

①　二つを足して整理すると　\(\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\biggr]=\sin \alpha\cos\beta\)

②　引いて整理すると　\(\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\biggr]=\cos \alpha\sin\beta\)

・\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)

③　二つを足して整理すると　\(\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\biggr]=\cos \alpha\cos\beta\)

④　引いて整理すると　\(-\displaystyle\frac{1}{2}\biggl[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\biggr]=\sin \alpha\sin\beta\)

⑤　\(\sin A+\sin B=2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

⑥　\(\sin A-\sin B=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\sin\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

⑦　\(\cos A+\cos B=2\cos\displaystyle\frac{A+B}{2}\cos\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

⑧　\(\cos A-\cos B=-2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\sin\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

積和の公式を書き直す。

①～④で　\(A=\alpha+\beta\)、\(B=\alpha-\beta\)　と置換する。

\(\alpha=\displaystyle\frac{A+B}{2}\)、\(\beta=\displaystyle\frac{A-B}{2}\)　と書き換えると⑤～⑧を得る。