1/sin xの積分 3通り

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\(\displaystyle\frac{1}{\sin x}\)の積分についてです。\(\displaystyle\frac{1}{\cos x}\)についても大して変わりません。

 

※\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\cos x}\)は2019年の京大入試問題で小問として出てきました。(定積分ですが)

 

 

その1 ノーマル解法

教科書はこのやり方が載っていた気がします。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin x}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin^2 x}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{1-\cos^2 x}dx\)

 

\(t=\cos x\)とおく。\(dt=-\sin x dx\)であるので

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{-dt}{1-t^2}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t-1)(t+1)}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\displaystyle\frac{1}{t-1}-\displaystyle\frac{1}{t+1}\biggr)dt\)   (部分分数分解)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl|\displaystyle\frac{t-1}{t+1}\biggr|+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl|\displaystyle\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\biggr|+C\)   (変数をもとに戻す)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl(\displaystyle\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\biggr)+C\)    (\(1-\cos x>0\)のため。)

 

\(1-\cos x>0\)に等号がつかないのは、問題の分母は0ではない(\(\sin x\neq 0\))ので\(\cos x\neq 1\)となるため。

 

その2 ワイエルシュトラス置換

\( \displaystyle\int \displaystyle\frac{dx}{\sin x}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}} } \cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt\)   ※\(t=\tan \displaystyle\frac{x}{2}\) ワイエルシュトラス置換

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t}=\log t + C\)

 

\(=\log \left| \tan \displaystyle\frac{x}{2} \right|+ C\) 

 

この置換については以下の記事に書いています。

三角関数の積分で万能なワイエルシュトラスの置換を解説。

 

その3 半角

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin x}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2\sin \displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2\cos^2 \displaystyle\frac{x}{2}\tan\displaystyle\frac{x}{2}}\)

 

ここで\(\biggl(\tan \displaystyle\frac{x}{2}\biggr)’=\displaystyle\frac{1}{2\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}}\)より

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\biggl(\tan\displaystyle\frac{x}{2}\biggr)’}{\tan\displaystyle\frac{x}{2}}dx\)

 

\(=\log\biggl|\tan \displaystyle\frac{x}{2}\biggr|+C\)

 

 

 

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