1/sin xの積分 3通り

微分積分
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\(\displaystyle\frac{1}{\sin x}\)の積分についてです。

その1 ノーマル解法

教科書はこのやり方が載っていた気がします。

 

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{\sin^2 x}dx=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\sin x}{1-\cos^2 x}dx\)

 

\(t=\cos x\)とおく。\(dt=-\sin x dx\)であるので

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{-dt}{1-t^2}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{(t-1)(t+1)}\)

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{2}\biggl(\displaystyle\frac{1}{t-1}-\displaystyle\frac{1}{t+1}\biggr)dt\)   (部分分数分解)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl|\displaystyle\frac{t-1}{t+1}\biggr|+C\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl|\displaystyle\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\biggr|+C\)   (変数をもとに戻す)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\log \biggl(\displaystyle\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\biggr)+C\)    (\(1-\cos x>0\)のため。)

 

\(1-\cos x>0\)に等号がつかないのは、問題の分母は0ではない(\(\sin x\neq 0\))ので\(\cos x\neq 1\)となるため。

 

その2 ワイエルシュトラス置換

$t=\tan \displaystyle\frac{x}{2}$とおくワイエルシュトラス置換を利用する。

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2t}{1+t^{2}}} \cdot \displaystyle\frac{2}{1+t^{2}}dt=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dt}{t}=\log t + C\)\(=\log \left| \tan \displaystyle\frac{x}{2} \right|+ C\) 

 

この置換については以下に書いています。

ワイエルシュトラス置換
 ワイエルシュトラス置換$t=\tan \displaystyle\frac{x}{2}$  と置く置換で、これを使うと三角関数の積分はすべて計算できます。 置換結果\( \tan x\)\( = \displaystyle\f...

 

その3 半角

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{\sin x}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2\sin \displaystyle\frac{x}{2}\cos\displaystyle\frac{x}{2}}=\displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{2\cos^2 \displaystyle\frac{x}{2}\tan\displaystyle\frac{x}{2}}\)

 

ここで\(\biggl(\tan \displaystyle\frac{x}{2}\biggr)^{\prime}=\displaystyle\frac{1}{2\cos^2\displaystyle\frac{x}{2}}\)より

 

\(=\displaystyle\int\displaystyle\frac{\biggl(\tan\displaystyle\frac{x}{2}\biggr)^{\prime}}{\tan\displaystyle\frac{x}{2}}dx=\log\biggl|\tan \displaystyle\frac{x}{2}\biggr|+C\)

 

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