ガンマ関数 ベータ関数

微分積分
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ベータ関数、ガンマ関数は有名な関数で、様々な性質を持っている。

 

 

ガンマ関数

ガンマ関数を以下のように定義する。

\(\Gamma(z)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt\)

 

ガンマ関数は、階乗と密接な関係がある。

以下、ガンマ関数に関するいくつかの性質を示す。

 

\(\Gamma(n+1) =  n\Gamma(n)\)

証明

部分積分を行います。第一項は消えます。(\(e^x\)の作用のほうが大きい。)

 

\(\Gamma(n+1) \)\(=  \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n} dx=\biggl[-e^{-x} x^n\biggr]_{0}^{\infty}+\displaystyle\int_{0}^{\infty} nx^{n-1} e^x dx\)\(= nΓ(n) \)

 

\(\Gamma(n+1) = n!\)

\(\Gamma(n+1)\)\(=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots=n!\Gamma(1)\)\(n!\)

※\(\Gamma(1)=1\) は定義の式から計算できる。

 

\( \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} \)

証明

\(\Gamma(\displaystyle\frac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt\)  

 

\(=\displaystyle\int_0^{\infty}x^{-1}e^{-x^2}2xdx\) ※\(t=x^2\)とした。

 

\(=2\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\) ※偶関数だから

 

\(=\sqrt{\pi}\) ※ガウス積分

 

ガウス積分はこちらの記事をご参照ください

ガウス積分
ガウス積分  下のような積分のことをガウス積分と呼びます。 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{a}...

 

ベータ関数

\(B(p,q) = \displaystyle\frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{ \Gamma(p+q)} \)

でベータ関数を定義する。すると、ベータ関数は以下のように書ける。

 

\(B(p,q)= \displaystyle\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx\) ※こちらから定義することもある。

 

証明(導出)はこちら

ベータ関数導出
 ベータ関数\(B(p,q) = \displaystyle\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\) の定義から具体的なベータ関数の式を証明(導出)する。 ベータ関数、ガンマ関数の性質等は...

 

問題

 

① \(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x}} dx\)

 

② \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^3\theta \cos ^4 \theta d\theta\)

  

 

 

解答

1番

\(\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-x}} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2-1} (1-x)^{\frac{1}{2}-1} dx=B\biggl(2 , \displaystyle\frac{1}{2}\biggr)= \displaystyle\frac {\Gamma(2) \Gamma\biggl(\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)}= \displaystyle\frac{1!\sqrt{\pi}}{\displaystyle\frac{3}{2}\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\pi}}=\)\(\displaystyle\frac{4}{3}\)

 

2番 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^3\theta \cos ^4 \theta d\theta\)

 

まず、 \( t=\sin^2 \theta \)とおく。

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 \theta \cos^4 \theta d \theta\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2} \int_{0}^{1} t (1-t)^{\frac{3}{2}} dt=\displaystyle\frac{1}{2}B \biggl(2,\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac {\Gamma(2) \Gamma\biggl(\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{9}{2}\biggr)}=\displaystyle\frac{1! \Gamma\biggl(\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)}{2\cdot \displaystyle\frac{7}{2}\cdot \displaystyle\frac{5}{2}\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)}\)

\(=\displaystyle\frac{2}{35}\)

 

使用できる問題はかなり限られます。また、普通に置換して計算したほうが迷うことも少ないでしょう。性質自体は大変重要です。

 

 

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