回転楕円体の体積

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回転楕円体の体積

回転楕円体とは楕円を中心軸周りに回してできる立体。

 

以下では、\(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1\)を\(x\)軸、\(y\)軸それぞれのまわりで回した時の体積を求める。

 

\(x=a\cos\theta\)、\(y=b\sin\theta\)とおいて計算する。

 

\(x\)軸回り

\(V=\displaystyle\int_{-a}^{a} \pi y^2 dx\)

 

\(=2\displaystyle\int_{0}^{a} \pi y^2 dx\)

 

\(=2\pi\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} b^2\sin^2\theta\cdot(-a\sin\theta)d\theta\)

 

\(=2\pi ab^2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos^2\theta)\sin\theta d\theta\)

 

\(=2\pi ab^2\biggl[-cos\theta+\displaystyle\frac{1}{3}\cos^3\theta\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)

 

\(=\displaystyle\frac{4}{3}\pi ab^2\)

 

\(y\)軸回り

\(y\)軸まわりに回した時も上と同様の計算により

 

\(\displaystyle\frac{4}{3}\pi a^2b\) となる。

 

一般の楕円体体積

楕円体において\(a\)、\(b\)、\(c\)のうち2つが同じなら回転楕円体になる。

 

一般に楕円体 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}+\displaystyle\frac{z^2}{c^2}=1\)の体積は

 

\(V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi abc\) となる。

 

計算

楕円体を極座標表示すると

\(x=ar\sin\theta\cos\phi\)

\(y=br\sin\theta\sin\phi\)

\(z=cr\cos\theta\)

\(0\leq \theta\leq\pi\)、\(0\leq \phi\leq 2\pi\) より体積は

 

\(V=\displaystyle\iiint dxdydz\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{1} abc r^2\sin\theta dr d\theta d\phi\)

※\(abc r^2\sin\theta\)がヤコビアン

 

\(=abc\displaystyle\int_{0}^{2\pi} d\phi \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta\displaystyle\int_{0}^{1} r^2 dr\)

 

\(=abc\times 2\pi \times 2\times \displaystyle\frac{1}{3}\)

 

\(=\displaystyle\frac{4}{3}\pi abc\) 

 

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