\(e^\pi\)と\(\pi^e\)の大小

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\(e^\pi\)と\(\pi^e\)の大小

有名問題です。

思考

対数を使用します。セオリー的な感じです。

計算

\(e^\pi\)と\(\pi^e\)

両方の対数を取ると、\(\pi\log e\)と\(e\log \pi\)となる。

\(\pi e\)で割ると\(\displaystyle\frac{\log e}{e}\)と\(\displaystyle\frac{\log \pi}{\pi}\)。

よって、まずはこれらの値を比べよう、と考えます。

\(f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}\)とおく

\(f'(x)=\displaystyle\frac{1-\log x}{x^2}\)であり、増減表を書く。

\(x\) \(0\) \(1\) \(e\)
\(f'(x)\)  \(0\)
\(f(x)\) \(-\infty\) \(0\) \(\displaystyle\frac{1}{e}\)

 よって、\(f(e)>f(\pi)\)なので

\(\displaystyle\frac{\log e}{e}>\displaystyle\frac{\log \pi}{\pi}\)

両辺\(\pi e\)倍すると、\(\pi\log e>e\log \pi\)

\(\log e^{\pi}>\log \pi^e\) 

底\(e\)は1より大きいので\(e^{\pi}>\pi^e\)となる。

答え

\(e^{\pi}>\pi^e\)

※この形の問題は大体このような解き方で解けます。

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