\(e^\pi\)と\(\pi^e\)の大小

微分積分
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\(e^\pi\)と\(\pi^e\)の大小

有名問題です。

 

 

 

思考

対数を使用します。セオリー的な感じです。

 

計算

\(e^\pi\)と\(\pi^e\)

 

両方の対数を取ると、\(\pi\log e\)と\(e\log \pi\)となる。

 

\(\pi e\)で割ると\(\displaystyle\frac{\log e}{e}\)と\(\displaystyle\frac{\log \pi}{\pi}\)。

 

よって、まずはこれらの値を比べよう、と考えます。

 

\(f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}\)とおく

 

\(f'(x)=\displaystyle\frac{1-\log x}{x^2}\)であり、増減表を書く。

 

\(x\)\(0\) \(1\) \(e\) 
\(f'(x)\)   \(0\)
\(f(x)\)\(-\infty\) \(0\) \(\displaystyle\frac{1}{e}\) 

 

 よって、\(f(e)>f(\pi)\)なので

 

 \(\displaystyle\frac{\log e}{e}>\displaystyle\frac{\log \pi}{\pi}\)

 

両辺\(\pi e\)倍すると、\(\pi\log e>e\log \pi\)

 

\(\log e^{\pi}>\log \pi^e\) 

 

底\(e\)は1より大きいので\(e^{\pi}>\pi^e\)となる。

 

 

答え

\(e^{\pi}>\pi^e\)

 

※この形の問題は大体このような解き方で解けます。

 

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