ガブリエルのラッパ

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ガブリエルのラッパ

ガブリエルのラッパとは表面積は無限なのに体積は有限となる空間図形。

この空間図形について解説していきます。

ラッパの表面積と体積をそれぞれ計算していく。

 

\(y=\displaystyle\frac{1}{x}\) (\(x\geq 1\)) の範囲を\(x\)軸まわりに回した図形。

 

表面積

表面積の公式(\(x\)軸まわりでまわしてる)

微小表面積を足し合わせている。

\(S=2\pi\displaystyle\int_{a}^{b} y(t) \sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{dx}{dt}\biggr)^2+\biggl(\displaystyle\frac{dy}{dt}\biggr)^2}dt\)

 

\(=2\pi\displaystyle\int_{a}^{b} y \sqrt{1+\biggl(\displaystyle\frac{dy}{dx}\biggr)^2}dx\)

 

上の公式により問題の空間図形の表面積は

\(S=2\pi\displaystyle\int_{1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{x} \sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)

 

\(>2\pi\displaystyle\int_{1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{x}dx\)

 

\(=2\pi\biggl[\log x\biggr]_{1}^{\infty}\)

 

\(=\infty\)

 

体積

\(V=\displaystyle\int_{1}^{\infty} \pi\biggl(\displaystyle\frac{1}{x}\biggr)^2 dx\)

 

\(=\biggl[-\displaystyle\frac{\pi}{x}\biggr]_{1}^{\infty}\)

 

\(=\pi\)

 

 

 

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