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目次
問題
\(z\)方向一様電場 \(E_{0}\)が誘電率\(\varepsilon_{2}\) の誘電体の中にある。
ここに半径\(a\)、誘電率\(\varepsilon_{1}\)の導体球を置く。
このとき、球内、球外での静電ポテンシャル（電位）を求める。
解答
球の中心を原点にとる。
\(\boldsymbol{r}\)と\(z\)軸となす角を\(\theta\)とする。
球外の電場
一様電場による静電ポテンシャル(\(=\phi_{1}\))は
\(\phi_{1}=-E_{0}z=-E_{0}r\cos\theta\)
よってラプラス方程式の解において無限遠で\(0\)となる境界条件で考えると
\(\phi_{外}=-E_{0}r\cos\theta+\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty} \displaystyle\frac{B_{l}}{r^{l+1}}P_{l}(\cos\theta)\)
球内の電場
原点で無限大にならないためには、ラプラス方程式の解は以下のようになる。
\(\phi_{内}=\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty} A_{l}r^{l} P_{l}(\cos\theta)\)
境界条件
その1
\(r=a\)で \(\phi_{外}=\phi_{内}\) の境界条件より
\(-E_{0}a\cos\theta+\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty} \displaystyle\frac{B_{l}}{a^{l+1}}P_{l}(\cos\theta)=\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty} A_{l}a^{l} P_{l}(\cos\theta)\)
これが\(\theta\)によらず成立する。
① 「\(l=0\)」 \(\displaystyle\frac{B_{0}}{a}=A_{0}\)
② 「\(l=1\)」 \(-E_{0}a+\displaystyle\frac{B_{1}}{a^2}=A_{1} a\)
③ 「\(l\geq 2\)」 \(\displaystyle\frac{B_{l}}{a^{l+1}}=A_{l} a^{l}\)
その2
電束密度(\(=D\))の法線成分は一定なので
\(\varepsilon_{2} \biggl(\displaystyle\frac{\partial \phi_{外}}{\partial r}\biggr)_{r=a}=\varepsilon_{1} \biggl(\displaystyle\frac{\partial \phi_{内}}{\partial r}\biggr)_{r=a}\)
代入して整理すると
\(-\varepsilon_{2} E_{0}\cos\theta-\varepsilon_{2}\displaystyle\sum_{l=0}^{\infty} (l+1)\displaystyle\frac{B_{l}}{a^{l+2}} P_{l}(\cos\theta)=\varepsilon_{1} \displaystyle\sum_{l=1}^{\infty} l A_{l} a^{l-1} P_{l}(\cos\theta)\)
これが\(\theta\)によらず成立する。
④ 「\(l=0\)」 \(B_{0}=0\)
⑤ 「\(l=1\)」 \(-\varepsilon_{2}E_{0}-2\varepsilon_{2}\displaystyle\frac{B_{1}}{a^3}=\varepsilon_{1}A_{1}\)
⑥ 「\(l\geq 2\)」 \(-\varepsilon_{2}(l+1)\displaystyle\frac{B_{l}}{a^{l+2}}=\varepsilon_{1} l A_{l} a^{l-1}\)
①と④より \(A_{0}=B_{0}=0\)
②と⑤より
\(A_{1}=-\displaystyle\frac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}E_{0}\)
\(B_{1}=\displaystyle\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}E_{0} a^3\)
③と⑥より \(A_{l}=B_{l}=0\)
まとめ
これらを元の式に代入すると答えは
\(\phi_{外}=-E_{0}r\cos\theta+\displaystyle\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}\cdot\displaystyle\frac{E_{0}a^3 \cos\theta}{r^2}\)
\(\phi_{内}=-\displaystyle\frac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}E_{0}r\cos\theta\)
答え
\(\phi_{外}=-E_{0}r\cos\theta+\displaystyle\frac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}\cdot\displaystyle\frac{E_{0}a^3 \cos\theta}{r^2}\)
\(\phi_{内}=-\displaystyle\frac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}E_{0}r\cos\theta\)