極座標でのラプラス方程式

電磁気学
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ラプラス方程式

\(\Delta\phi=0\) を極座標表示すると

 

\(\displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\biggl(r^2\displaystyle\frac{\partial\phi}{\partial r}\biggr)+\displaystyle\frac{1}{r^2\sin\theta}\displaystyle\frac{\partial}{\partial \theta}\biggl(\sin\theta\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\biggr)+\displaystyle\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\displaystyle\frac{\partial^2 \phi}{\partial \psi^2}=0\)

 

\(\phi(r,\theta,\phi)=P(r)Q(\theta)R(\psi)\)と書けると仮定する。(実際うまくいく)

これを代入して整理すると

 

\(\displaystyle\frac{\sin^2\theta}{P}\displaystyle\frac{d}{dr}\biggl(r^2\displaystyle\frac{dP}{dr}\biggr)+\displaystyle\frac{\sin\theta}{Q}\displaystyle\frac{d}{d\theta}\biggl(\sin\theta\displaystyle\frac{dQ}{d\theta}\biggr)+\displaystyle\frac{1}{R}\displaystyle\frac{d^2 R}{d\psi^2}=0\)

偏微分は通常の微分に代わる。(一変数にしか依ってないから)

 

① \(\psi\)を分離

\(\displaystyle\frac{\sin^2\theta}{P}\displaystyle\frac{d}{dr}\biggl(r^2\displaystyle\frac{dP}{dr}\biggr)+\displaystyle\frac{\sin\theta}{Q}\displaystyle\frac{d}{d\theta}\biggl(\sin\theta\displaystyle\frac{dQ}{d\theta}\biggr)=-\displaystyle\frac{1}{R}\displaystyle\frac{d^2 R}{d\psi^2}\)

 

\(\psi\)についての方程式とみると左辺は定数(\(=m^2\))とおく

 

\(\displaystyle\frac{d^2 R}{d\psi^2}=-m^2R\) より

 

\(R(\psi)=e^{\pm im\psi}\)

 

\(z\)軸対称を考える時は、\(m=0\) となる。

 

② \(r\)を分離

\(-\displaystyle\frac{1}{\sin^2\theta}\biggl(\displaystyle\frac{\sin\theta}{Q}\displaystyle\frac{d}{d\theta}\biggl(\sin\theta\displaystyle\frac{dQ}{d\theta}\biggr)+\displaystyle\frac{1}{R}\displaystyle\frac{d^2 R}{d \psi^2}\biggr)=\displaystyle\frac{1}{P}\displaystyle\frac{d}{dr}\biggl(r^2\displaystyle\frac{d P}{d r}\biggr)\)

 

\(r\)についての方程式とみると左辺は定数(\(=l(l+1)\))とおく

 

\(\displaystyle\frac{d}{d r}\biggl(r^2\displaystyle\frac{d P}{dr}\biggr)=l(l+1)P\)

 

\(P(r)=r^{k}\)として代入すると \(k(k+1)=l(l+1)\)となる。

 

\(k=l , k=-l-1\) なので \(P(r)=a_{n}r^l+\displaystyle\frac{b_{n}}{r^{r+1}}\)

 

③ \(\theta\)を分離

②の冒頭から

\(-\displaystyle\frac{1}{\sin^2\theta}\biggl(\displaystyle\frac{\sin\theta}{Q}\displaystyle\frac{d}{d\theta}\biggl(\sin\theta\displaystyle\frac{dQ}{d\theta}\biggr)+\displaystyle\frac{1}{R}\displaystyle\frac{d^2 R}{d\psi^2}\biggr)=l(l+1)\)

 

\(\displaystyle\frac{d^2 R}{d\psi^2}=-m^2R\)を代入すると

 

\(-\displaystyle\frac{1}{\sin^2\theta}\biggl(\displaystyle\frac{\sin\theta}{Q}\displaystyle\frac{d}{d\theta}\biggl(\sin\theta\displaystyle\frac{dQ}{d\theta}\biggr)-m^2\biggr)=l(l+1)\)

 

整理して

 

\(\displaystyle\frac{1}{\sin\theta}\displaystyle\frac{d}{d\theta}\biggl(\sin\theta\displaystyle\frac{dQ(\theta)}{d \theta}\biggr)+\biggl(l(l+1)-\displaystyle\frac{m^2}{\sin^2 \theta}\biggr)Q(\theta)=0\)

 

\(z\)軸対称(\(m=0\))を考える。\(x=\cos\theta\)とすると

 

\(\displaystyle\frac{d}{dx}\biggl((1-x^2)\displaystyle\frac{dQ}{dx}\biggr)+l(l+1)Q=0\)

 

変形

\(\displaystyle\frac{d}{d\theta}=\displaystyle\frac{dx}{d\theta}\displaystyle\frac{d}{dx}=-\sin\theta\displaystyle\frac{d}{dx}\)より

 

\(\displaystyle\frac{1}{\sin\theta}\displaystyle\frac{d}{d\theta}\biggl(\sin\theta\displaystyle\frac{dQ(\theta)}{d \theta}\biggr)=\displaystyle\frac{1}{\sin\theta}\cdot(-\sin\theta)\displaystyle\frac{d}{dx}\biggl(\sin\theta(-\sin\theta)\displaystyle\frac{dQ}{dx}\biggr)\)

 

\(=\displaystyle\frac{d}{dx}\biggl((1-x^2)\displaystyle\frac{dQ}{dx}\biggr)\)

 

そして \(\displaystyle\frac{d}{dx}\biggl((1-x^2)\displaystyle\frac{dQ}{dx}\biggr)+l(l+1)Q=0\) 

の解はルジャンドル多項式  \(P_{l}(\cos\theta)\)  で表される。

 

一般解

よってz軸対称の場合のラプラス方程式の解は

 

\(\phi(r,\theta)=P(r)Q(\theta)=\displaystyle\sum_{l} \biggl(A_{l}r^{l}+\displaystyle\frac{B_{l}}{r^{l+1}}\biggr)P_{l}(\cos\theta)\)

 

 

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