レムニスケート曲線の面積と長さ

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レムニスケート

\(r^2=2a^2\cos 2\theta\)で表される図形。連珠形とも呼ばれる。

 

以下の画像のような軌跡になる。

 

 

直交座標系に変換すると \((x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)\) になる。

※この形から、\(x\)、\(y\)軸対称であることが分かる。

※「\(x^2+y^2=r^2\)」と「\(x^2-y^2=r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=r^2\cos 2\theta\)」よりわかる。

 

結論から言うと面積が \(2a^2\) で長さが\(\sqrt{2\pi}a\displaystyle\frac{\Gamma{\biggl(\displaystyle\frac{1}{4}\biggr)}}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{3}{4}\biggr)}\)

 

 

媒介変数表示

\(x=r\cos\theta=\sqrt{2}a\cos\theta\sqrt{\cos 2\theta}\)

\(y=r\sin\theta=\sqrt{2}a\sin\theta\sqrt{\cos 2\theta}\)

 

以下の計算で使うので準備

\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=-\sqrt{2}a\displaystyle\frac{\sin 3\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}}\)

\(\displaystyle\frac{dy}{d\theta}=\sqrt{2}a\displaystyle\frac{\cos 3\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}}\)

 

\(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=\sqrt{2}a\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}(\cos 2\theta)^{-\frac{1}{2}}\times(-2\sin 2\theta\cos\theta)+\sqrt{2}a\sqrt{\cos 2\theta}(-\sin\theta)\biggr]\)

 

\(=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{\cos 2\theta}}(\cos\theta\sin 2\theta+\sin\theta\cos 2\theta)\)

 

\(=-\sqrt{2}a\displaystyle\frac{\sin 3\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}}\)  ※分子は加法定理で合成

※\(y\)についても同じ要領でできる

 

面積

媒介変数表示でも極座標表示のままでも計算できる。極座標のままの方が簡単。

 

極座標表示

極座標表示の面積計算公式を使う。(記述なら略証があったほうが良い)

\(x\)軸と\(y\)軸対称なので第一象限の4倍を計算する。

 

\(S=4\times \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} r^2 d\theta\)

 

\(=2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2a^2\cos 2\theta d\theta\)

 

\(=4a^2\biggl[\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2\theta\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)

 

\(=2a^2\)

 

媒介変数表示

媒介変数表示の状態でできなくもないですが、計算量が多くなる。

 

\(S=4\times \displaystyle\int_{0}^{2a^2} y dx\)

 

\(=4\times\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{0} \sqrt{2}a\sqrt{\cos 2\theta}\sin\theta\times \biggl(-\sqrt{2}a \displaystyle\frac{\sin 3\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}}\biggr) d\theta\)

 

\(=8a^2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin\theta\sin 3\theta d\theta\)

 

\(=8a^2\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \biggl(\displaystyle\frac{1}{2}\cos 2\theta-\displaystyle\frac{1}{2}\cos 4\theta\biggr) d\theta\)

※三角関数の積和公式

 

\(=8a^2\biggl[\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta-\displaystyle\frac{1}{8}\sin 4\theta\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)

 

\(=2a^2\)

 

長さ

媒介変数表示でも極座標表示のままでも計算できる。

 

極座標表示

極座標表示の長さ計算公式を使う。(記述なら略証があったほうが良い)

x軸とy軸対称なので第一象限の4倍を計算する。

 

\(L=4\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{r^2+\biggl(\displaystyle\frac{dr}{d\theta}\biggr)^2}d\theta\)

 

\(=4\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2a^2\cos 2\theta+2a^2\displaystyle\frac{\sin^2 2\theta}{\cos 2\theta}}d\theta\)

 

\(=4\sqrt{2}a\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{d\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}}\)

 

ここで \(t=\tan\theta\)とおく。\(\displaystyle\frac{dt}{d\theta}=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}=1+t^2\) なので

 

\(=4\sqrt{2}a\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{2}{1+t^2}-1}}\cdot \displaystyle\frac{dt}{1+t^2}\)

 

\(=4\sqrt{2}a\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\)

 

\(u=t^4\)とおく。\(\displaystyle\frac{dt}{du}=\displaystyle\frac{1}{4}u^{-\frac{3}{4}}\)なので

 

\(=\sqrt{2}a\displaystyle\int_{0}^{1} u^{\frac{1}{4}-1} (1-u)^{\frac{1}{2}-1}du\)

 

\(=\sqrt{2}a B\biggl(\displaystyle\frac{1}{4}, \displaystyle\frac{1}{2}\biggr)\)

 

\(=\sqrt{2\pi}a\displaystyle\frac{\Gamma{\biggl(\displaystyle\frac{1}{4}\biggr)}}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{3}{4}\biggr)}\)

 

媒介変数表示

第一象限の4倍と考える。途中からは上と同じ計算になる。

 

\(L=4\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\biggl(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}\biggr)^2+\biggl(\displaystyle\frac{dy}{d\theta}\biggr)^2} d\theta\)

 

\(=4\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2}a\sqrt{\displaystyle\frac{\sin^2 3\theta}{\cos 2\theta}+\displaystyle\frac{\cos^2 3\theta}{\cos 2\theta}} d\theta\)

 

\(=4\sqrt{2}a\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\displaystyle\frac{d\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}}\)

 

ここで \(t=\tan\theta\)とおく。\(\displaystyle\frac{dt}{d\theta}=\displaystyle\frac{1}{\cos^2\theta}=1+t^2\) なので

 

\(=4\sqrt{2}a\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\displaystyle\frac{2}{1+t^2}-1}}\cdot \displaystyle\frac{dt}{1+t^2}\)

 

\(=4\sqrt{2}a\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}\)

 

\(u=t^4\)とおく。\(\displaystyle\frac{dt}{du}=\displaystyle\frac{1}{4}u^{-\frac{3}{4}}\)なので

 

\(=\sqrt{2}a\displaystyle\int_{0}^{1} u^{\frac{1}{4}-1} (1-u)^{\frac{1}{2}-1}du\)

 

\(=\sqrt{2}a B\biggl(\displaystyle\frac{1}{4}, \displaystyle\frac{1}{2}\biggr)\)

 

\(=\sqrt{2\pi}a\displaystyle\frac{\Gamma{\biggl(\displaystyle\frac{1}{4}\biggr)}}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{3}{4}\biggr)}\)

 

 

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