n次元超球の体積

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2次元の超球の体積(円の面積)は \(4\pi r^2\)

3次元の超球の体積(球の体積)は \(\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)

これを一般化します。

 

準備

超球の体積とは\(x_{1}^2+x_{2}^2+\cdots +x_{n}^2\leq r^2\)の領域の体積。

 

超球の体積を\(V_{n}\)とする。

上のことからも分かるように、\(n\)次元の超球は\(r^n\)に比例します。

 

これを式で書くと \(V_{n}=c_{n} r^n\)     (\(c_{n}\)は定数)

 

微分すると \(S_{n}=r c_{n}r^{n-1}\) という関係式も得られる。

 

\(I_{n}\)

唐突ですが、以下のものを考えます。

 

\(I_{n}=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \cdots \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}  e^{-(x_{1}^2+x_{2}^2+\cdots +x_{n}^2)} dx_{1} dx_{2}\cdots dx_{n}\)

これを二通りの方法で計算します。

 

その1

\(I_{n}=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x_{1}^2} dx_{1}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x_{2}^2} dx_{2}\cdots \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x_{n}^2} dx_{n}\)

 

\(=\sqrt{\pi}\sqrt{\pi}\cdots \sqrt{\pi}\)

 

\(=\pi^{\frac{n}{2}}\)

 

その2

\(I_{n}=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \cdots \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}  e^{-(x_{1}^2+x_{2}^2+\cdots +x_{n}^2)} dx_{1} dx_{2}\cdots dx_{n}\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} S_{n} dr\) 

※表面積(超球の体積の一次元下)が\(0\leq r\leq \infty\)を動くことで全域を網羅する。

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} n c_{n} r^{n-1} dr\) (準備部分の式を利用)

 

\(=n c_{n} \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r^{n-1} dr\) (r依存ない部分を前に)

 

\(=n c_{n} \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{\frac{n-1}{2}} \displaystyle\frac{dt}{2\sqrt{t}}\) (\(t=r^2\)とした。)

 

\(=\displaystyle\frac{n c_{n}}{2} \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{\frac{n}{2}-1}dt\)

 

\(=\displaystyle\frac{n}{2} c_{n}\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{n}{2}\biggr)\) (\(\Gamma(p) =  \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{p-1} dx\))

 

\(=c_{n}\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{n}{2}+1\biggr)\) (\(\Gamma(n+1) =  n\Gamma(n)\)を使用。)

 

ガンマ関数は以下にまとめてあります。

ガンマ関数とベータ関数の性質と例題解説をやっていきます。

 

結果

1と2で計算したものは共に\(I_{n}\)なのでこれを比較します。

\(\pi^{\frac{n}{2}}=c_{n}\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{n}{2}+1\biggr)\)

 

\(c_{n}=\displaystyle\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{n}{2}+1\biggr)}\)

 

これを最初の超球の体積の式に代入します。(\(c_{n}\)がほしかった。)

 

\(V_{n}=\displaystyle\frac{\pi^{\frac{n}{2}} r^n}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{n}{2}+1\biggr)}\)

が答え。

 

確認

\(n=2\)

\(V_{2}=\displaystyle\frac{\pi r^2}{\Gamma(2)}\)

 

\(\Gamma(2)=(2-1)!=1\)より \(V_{2}=\pi r^2\)となり、円の面積になっている。

 

\(n=3\)

\(V_{3}=\displaystyle\frac{\pi^{\frac{3}{2}} r^3}{\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)}\)

 

\(\Gamma\biggl(\displaystyle\frac{5}{2}\biggr)=\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\pi}\)より \(V_{3}=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\)となり、円の体積になっている。

 

例、4次元単位球の体積

\(n=4\)、\(r=1\)として

\(V_{4}=\displaystyle\frac{\pi^2}{\Gamma(3)}\)\(=\displaystyle\frac{\pi^2}{2}\)

 

※ \(\Gamma(3)=2!=2\)

 

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