ガンマ関数の相反公式

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ガンマ関数の相反公式

\(\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\displaystyle\frac{\pi}{\sin\pi z}\)

 

 

証明

ベータ関数を二通りで表す。(\(p+q=1\)として)

 

ベータ関数とガンマ関数の関係式

\(B(p,q)=\displaystyle\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}=\Gamma(1-q)\Gamma(q)\) ※後の都合上、\(p\)の方を消去

 

ベータ関数計算

\(B(p,q)=\displaystyle\int_{0}^{1} t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt\)  ※ベータ関数の定義

 

\(=\displaystyle\int_{\infty}^{0} \displaystyle\frac{1}{(x+1)^{p-1}}\cdot \displaystyle\frac{x^{q-1}}{(x+1)^{q-1}}\cdot -\displaystyle\frac{dx}{(x+1)^2}\)  ※\(t=\displaystyle\frac{1}{x+1}\)と置換。

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{q-1}}{(x+1)^{p+q}} dx\) ※整理した

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{q-1}}{(x+1)} dx\)  (\(p+q=1\))

 

\(=\displaystyle\frac{\pi}{\sin q\pi}\)  ※複素積分

 

https://kikyousan.com/mathmatics/complexfunction/complexf8

 

結果

2つを等号で結ぶと \(\Gamma(1-q)\Gamma(q)=\displaystyle\frac{\pi}{\sin q\pi}\) となる。

 

\(\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\displaystyle\frac{\pi}{\sin\pi z}\) が示せた。

 

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