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問題
こちらのツイートで知りました。これは、この積分の答えの始めの10桁がWi-Fiのパスワードになっているというものだそうです。
訳：Wi-Fiのパスワードは答えの最初の10桁です。
計算
偶関数、奇関数の性質を利用します。
\(\displaystyle\int_{-2}^{2} \biggl(x^3\cos \displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)\sqrt{4-x^2} dx\)
\(=\displaystyle\int_{-2}^{2}x^3\cos \displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} dx+\displaystyle\int_{-2}^{2} \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2} dx\)
第一項
第一項の被積分関数は奇関数です。\(f(-x)=-f(x)\)
奇関数を\(-2\)～\(2\)まで積分しているので、打ち消し合って第一項の積分値は\(0\)になります。
第二項
図形から
\(\displaystyle\int_{-2}^{2} \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2} dx\)
これは半径2の円の上半分の面積に相当します。
\(y=\sqrt{4-x^2}\)という関数が半円を表すからです。
その中の面積になるので半円の面積に相当。係数があるので、全体としてはさらに半分。
つまり、\( \displaystyle\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \pi\times \displaystyle\frac{1}{2}=\pi\)
ゴリ押し
もしこれに気付かなくても、積分計算で結果を出せます。偶関数の性質を使うと
\(=2\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2} dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2} dx\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{4-4\sin^2\theta} \cdot 2\cos\theta d\theta\) （\(x=2\sin \theta\)とした）
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^2\theta d\theta\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2(1+\cos 2\theta) d\theta\)
\(=\biggl[2\theta+\sin 2\theta\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=\pi\)
