wifiのパスワードの積分

シェアする

 

問題

https://twitter.com/potenten87/status/1190161683638960130?s=20

 

こちらのツイートで知りました。これは、この積分の答えの始めの10桁がWi-Fiのパスワードになっているというものだそうです。

 

訳:Wi-Fiのパスワードは答えの最初の10桁です。

普通に良い問題だなと思ったので書きます。

 

計算

Twitter上では簡単といっている人が多くいましたが、気が付かないと全く手が出ないと思います。確かに見かけ倒しの問題ではあります。

 

偶関数、奇関数の性質を利用します。

 

\(\displaystyle\int_{-2}^{2} \biggl(x^3\cos \displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)\sqrt{4-x^2} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{-2}^{2}x^3\cos \displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} dx+\displaystyle\int_{-2}^{2} \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2} dx\)

 

第一項

第一項の被積分関数は奇関数です。\(f(-x)=-f(x)\)

 

奇関数を\(-2\)~\(2\)まで積分しているので、打ち消し合って第一項の積分値は\(0\)になります。

 

第二項

図形から

\(\displaystyle\int_{-2}^{2} \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2} dx\)

 

これは半径2の円の上半分の面積に相当します。

 

\(y=\sqrt{4-x^2}\)という関数が半円を表すからです。その中の面積になるので半円の面積に相当。

つまり、\( \displaystyle\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \pi\times \displaystyle\frac{1}{2}=\pi\) 

 

ゴリ押し

もしこれに気付かなくても、積分計算で結果を出せます。偶関数の性質を使うと

 

\(=2\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2} dx\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{4-4\sin^2\theta} \cdot 2\cos\theta d\theta\)   (\(x=2\sin \theta\)とした)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\cos^2\theta d\theta\)

 

\(=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2(1+\cos 2\theta) d\theta\)

 

\(=\biggl[2\theta+\sin 2\theta\biggr]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)

 

\(=\pi\)

 

つまり、答えは円周率です。パスワードは3141592653でいいのかな。3.14159265かもしれない。

 

シェアする