目次
クラスに同じ誕生日の人がいる確率
1年365日で計算します
クラスに同じ誕生日の人がいる確率
\(n\)人のクラスでの確率
まずは、全員の誕生日が異なる確率を求める。
1人目……いつでも良い。\(\displaystyle\frac{365}{365}\)
2人目……1人目と被らないこと。\(\displaystyle\frac{364}{365}\)
3人目……1 , 2人目と被らないこと。\(\displaystyle\frac{363}{365}\)
\(\cdots\)
\(n\)人目……\(n-1\)人と被らないこと。\(\displaystyle\frac{365-(n-1)}{365}\)
全員の誕生日が異なる確率はこれらの積なので
\(\displaystyle\frac{_{365}P_{n}}{365^n}\)
同じ誕生日の組が存在する確率はこれの余事象。
\(1-\displaystyle\frac{_{365}P_{n}}{365^n}\)
具体例
23人クラスの時におよそ確率が\(\displaystyle\frac{1}{2}\)になります。
40人クラスだとおよそ9割にも達します。
この確率は必ずしも「自分自身と」同じ誕生日の人がいる確率ではないです。「自分自身と」の確率は以下に続きます。
クラスに自分自身と同じ誕生日の人がいる確率
\(n\)人のクラスでの確率
1人目……自分自身と被らないこと。\(\displaystyle\frac{364}{365}\)
2人目……自分自身と被らないこと。\(\displaystyle\frac{364}{365}\)
\(\cdots\)
\(n-1\)人目……\(n-1\)人と被らないこと。\(\displaystyle\frac{364}{365}\)
全員の誕生日が自分自身と異なる確率はこれらの積なので
\(\biggl(\displaystyle\frac{364}{365}\biggr)^{n-1}\)
同じ誕生日の組が存在する確率はこれの余事象。
\(1-\biggl(\displaystyle\frac{364}{365}\biggr)^{n-1}\)
これだと40人でも10パーセント程度になります。
