[mathjax]
くじ引きに関する確率のお話です。
目次
問題
くじがある。「当たり」が2本、「はずれ」が8本入っている。
3人がくじを引くとき、最も当たりやすいのは何番目の人か？
解答
1人目の人が「当たり」を引く確率
10本中2本が当たりより、
\(\displaystyle\frac{2}{10}=\)\(\displaystyle\frac{1}{5}\)
2人目の人が「当たり」を引く確率
1人目の状況によって場合分け。
① 「1人目が当たり」の時
\(\displaystyle\frac{2}{10}\times \displaystyle\frac{1}{9}= \displaystyle\frac{1}{45}\)
② 「1人目がはずれ」の時
\(\displaystyle\frac{8}{10}\times \displaystyle\frac{2}{9}= \displaystyle\frac{8}{45}\)
求める答えはこれらの和。
\(\displaystyle\frac{1}{45}+\displaystyle\frac{8}{45}=\)\(\displaystyle\frac{1}{5}\)
3人目の人が「当たり」を引く確率
さらに場合分け。
① 「1人目が当たり、2人目が当たり」の時
もう、あたりはないので確率は \(0\)
② 「1人目が当たり、2人目がはずれ」の時
\(\displaystyle\frac{2}{10}\times \displaystyle\frac{8}{9}\times \displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{1}{45}\)
③ 「1人目がはずれ、2人目が当たり」の時
\(\displaystyle\frac{8}{10}\times \displaystyle\frac{2}{9}\times \displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{1}{45}\)
④ 「1人目がはずれ、2人目もはずれ」の時
\(\displaystyle\frac{8}{10}\times \displaystyle\frac{7}{9}\times \displaystyle\frac{2}{8}=\displaystyle\frac{7}{45}\)
求める答えはこれらの和。
\(\displaystyle\frac{1}{45}\times \displaystyle\frac{1}{45}\times \displaystyle\frac{7}{45}=\)\(\displaystyle\frac{1}{5}\)
よって、何番目に引こうが確率は \(\displaystyle\frac{1}{5}\) となる。
結論
一般の場合も同じ結果になります。くじ引きの順番に関係なく平等です。
残り物には福があるということわざがありますが、数学的には等確率です。
