複素関数3 テイラー展開、ローラン展開

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複素関数の解説と問題の一覧ページ。問題の方は基本レベルから応用、発展まで20問ほどありますので、ぜひ挑戦してみてください。複素積分問題は複素数の性質を利用して実関数積分を解くというものです。

 

テイラー展開とローラン展開

両方とも、ある点まわりの関数の展開となります。

 

テイラー展開正則な点(近傍も正則)

ローラン展開特異点(周りは正則だが、その点は非正則)

まわりの展開。

 

テイラー展開

\(f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \displaystyle\frac{f^{(k)}(\alpha)}{k!}(z-\alpha)^k\)

\(=f(a)+\displaystyle\frac{f'(a)}{1!}(z-a)+\displaystyle\frac{f”(a)}{2!}(z-a)^2+\displaystyle\frac{f”'(a)}{3!}(z-a)^3+\cdots\)

 

\(\alpha=0\) の時を特にマクローリン展開という。

 

特異点

正則ではない点のことを特異点という。

孤立特異点(その点では非正則だが、近傍は正則)には3種類ある。

 

① 除去可能な特異点

\(\displaystyle\lim_{z\to \alpha}f(z)\) が存在。

 

例 \(\displaystyle\frac{\sin z}{z}\) (\(z=0\))

 

② n位の極

\(\displaystyle\lim_{z\to \alpha}f(z)(z-\alpha)^n\) が有限値。

 

例 \(\displaystyle\frac{3}{(z-2)^2}\) (\(z=2\))

 

③ 真性特異点

①でも②でもない孤立特異点。

 

例 \(e^{\frac{1}{z}}\) (\(z=0\))

 

 

ローラン展開

 

 

\(f(z)=\)\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}(z-\alpha)^k\)\(+\displaystyle\sum_{l=1}^{\infty} \displaystyle\frac{b_{l}}{(z-\alpha)^l}\)

 

\(=\biggl[\cdots+\displaystyle\frac{a_{-2}}{z^2}+\displaystyle\frac{a_{-1}}{z}\biggr]\)\(+\biggl[a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^2+\cdots\biggr]\)

 

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}(z-\alpha)^k\) \(\cdots\)   正則部

\(\displaystyle\sum_{l=1}^{\infty} \displaystyle\frac{b_{l}}{(z-\alpha)^l}\)  \(\cdots\)  主要部

 

主要部は特異点に関する部分で、もし展開する点が特異点でなければ主要部が0となり、テイラー展開となる。 

 

例題

次の関数をローラン展開。 

 

1番

\(f(z)=ze^{\frac{1}{z}}\)   (\(z=0\)で)

 

2番

\(f(z)=\displaystyle\frac{1}{z-z^2}\)   (\(z=0\)で)

 

解答

1番

\(f(z)=ze^{\frac{1}{z}}\) 。\(z=0\)まわり。

 

\(e^x\)のマクローリン展開より

 

\(e^{\frac{1}{z}}=1+\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\frac{1}{2!z^2}+\displaystyle\frac{1}{3!z^3}+\cdots\)   

 

両辺に\(z\)をかけると

\(ze^{\frac{1}{z}}=z+1+\displaystyle\frac{1}{2!z}+\displaystyle\frac{1}{3!z^2}+\cdots\) 

これが答えとなる。

 

2番

\(f(z)=\displaystyle\frac{1}{z-z^2}\) 。 \(z=0\)まわり。

 

\(f(z)=\displaystyle\frac{1}{z-z^2}=\displaystyle\frac{1}{z(1-z)}=\displaystyle\frac{1}{z}(1+z+z^2+z^3+\cdots)\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{z}+1+z+z^2+z^3+\cdots\)

 

 ちなみに、2番は、\(z=0\)だけでなく、\(z=1\)も特異点なので、このまわりでもローラン展開できる。

 

\(f(z)=\displaystyle\frac{1}{(1-z)[1-(1-z)]}\)

 

\(=\displaystyle\frac{1}{1-z}\biggl(1+(1-z)+(1-z)^2+(1-z)^3+\cdots\biggr)\)

 

\(=-\displaystyle\frac{1}{z-1}+1-(z-1)+(z-1)^2-(z-1)^3 +\cdots\)

 

特異点分類

テイラー展開やローラン展開といった関数の展開の結果から特異点を分類する方法。

 

① 主要部がない = 除去可能な特異点

② 主要部が有限 = n位の極

③ 主要部が無限 = 真性特異点

 

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