フレネル積分

複素解析
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フレネル積分

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

 

\(\sin x^2\) は \(\sin^2 x\) とは別物です。注意してください。

 

イメージ

ガウス積分を使用。(厳密ではないですが分かりやすいかもしれないです)

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2}=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{-i}}=\sqrt{\pi i}=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}(1+i)\)

 

これは、\(\sqrt{\pi i}=a+bi\)とでも置いて計算すれば出てくる。また、

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2}=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \cos x^2+i\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2\)

 

実部と虚部を比較すると

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

が出てくる。

 

証明

複素積分によります。$\displaystyle\frac{\pi}{4}$の扇形で複素積分します。

$f(z)=e^{iz^2}$とする。

 

 

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{ix^2} dx+\displaystyle\int_{\mathrm{C}_{2}} e^{iz^2} dz+\displaystyle\int_{\mathrm{C}_{3}} e^{iz^2} dz=0$

 

\(C_{2}\)の経路

$\displaystyle\int_{\mathrm{C}_{2}} e^{iz^2} dz\to 0$

 

\(C_{3}\)の経路

$z=e^{\frac{i\pi}{4}x}$と変換する。

 

$\displaystyle\int_{\mathrm{C}_{3}} e^{iz^2} dz=\displaystyle\int_{\infty}^{0} e^{-\frac{x^2}{2}}e^{\frac{i\pi}{4}} dx=-\left(\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

 

まとめ

これらの結果を代入すると以下の式が得られる。

 

$\displaystyle\int_{0}^{\infty} \cos x^2 dx+i\displaystyle\int_{0}^{\infty} \sin x^2 dx=\left(\displaystyle\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

 

実部、虚部を比較して計算し、積分範囲を倍にするとフレネル積分が得られる。

 

結果

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

 

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