フレネル積分

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フレネル積分

 

 

フレネル積分とは

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

 

※ \(\sin x^2\) は \(\sin^2 x\) とは別物です。注意してください。

 

イメージ

ガウス積分を使用。(厳密ではないですが分かりやすいかもしれないです。)

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2}=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{-i}}=\sqrt{\pi i}=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}(1+i)\)

 

これは、\(\sqrt{\pi i}=a+bi\)とでも置いて計算すれば出てくる。また、

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2}=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \cos x^2+i\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2\)

 

実虚比較すると

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

が出てくる。

 

 

証明

複素積分によります。

 

ここでは、次のような経路を考えます。

 

 

コーシーの積分定理より

 

\(\displaystyle\int_{A}+\displaystyle\int_{B}+\displaystyle\int_{C}=0\)

 

今、\( f(z)=e^{-\frac{z^2}{2}}\) 。

 

Aの経路

ガウス積分より答えが出る。(実軸上なので実数の積分となっている。)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{z^2}{2}} dz=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

 

Bの経路

 

\(\displaystyle\int_{0}^{R}ie^{-(R+ti)^2}dt\)

 

が0に収束。

 

Cの経路

 

\(-(1+i)\displaystyle\int_{0}^{R}e^{-\frac{(1+i)^2 t^2}{2}}dt\)

 

\(=-(1+i)\displaystyle\int_{0}^{R}ie^{-it^2}dt\)

 

\(=-(1+i)\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2-i\sin t^2)dt\)

 

\(=-\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2+\sin t^2)dt-i\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2-\sin t^2)dt\)

 

よって

 

\(\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}=\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2+\sin t^2)dt+i\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2-\sin t^2)dt\)

 

 

実部、虚部を比較して計算し、積分範囲を倍にするとフレネル積分が得られる。

 

結果

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

 

 

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