フレネル積分

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フレネル積分

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

\(\sin x^2\) は \(\sin^2 x\) とは別物です。注意してください。

イメージ

ガウス積分を使用。(厳密ではないですが分かりやすいかもしれないです。)

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2}=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{-i}}=\sqrt{\pi i}=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}(1+i)\)

これは、\(\sqrt{\pi i}=a+bi\)とでも置いて計算すれば出てくる。また、

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2}=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \cos x^2+i\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2\)

実部と虚部を比較すると

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

が出てくる。

証明

複素積分によります。ここでは、次のような経路を考えます。

コーシーの積分定理より

\(\displaystyle\int_{A}+\displaystyle\int_{B}+\displaystyle\int_{C}=0\)

今、\( f(z)=e^{-\frac{z^2}{2}}\)  とする。

Aの経路

ガウス積分より答えが出る。(実軸上なので実数の積分となっている。)

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}} dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

Bの経路

\(z=R+ki\)を\(0\leq k\leq R\) まで移動する。

\(\biggl|\displaystyle\int_{B}  f(z)dz\biggr| \leq \displaystyle\lim_{R\to\infty}\displaystyle\int_{0}^{R}\biggl| ie^{\frac{-(R+ki)^2}{2}}\biggr|dk\)  線積分公式

\(=\displaystyle\lim_{R\to\infty} \displaystyle\int_{0}^{R}e^{\frac{k^2-R^2}{2}}dk\)  ※\(|e^{-iRk}|=1\)

\(=\displaystyle\lim_{R\to\infty} \displaystyle\int_{0}^{R}e^{\frac{R(k-R)}{2}}dk\)   ※\(k^2-R^2=(k+R)(k-R)\geq R(k-R)\)

\(\leq\displaystyle\lim_{R\to\infty} e^{-\frac{R^2}{2}}\displaystyle\int_{0}^{R}e^{\frac{Rk}{2}}dk\)

\(=\displaystyle\lim_{R\to\infty} \displaystyle\frac{1}{e^{\frac{R^2}{2}}}\displaystyle\frac{2}{R}(e^{\frac{R^2}{2}}-1)\)

\(=\displaystyle\lim_{R\to\infty}\displaystyle\frac{2}{R}\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{e^{\frac{R^2}{2}}}\biggr)=0\)

0に収束。

Cの経路

\(-(1+i)\displaystyle\int_{0}^{R}e^{-\frac{(1+i)^2 t^2}{2}}dt\)

\(=-(1+i)\displaystyle\int_{0}^{R}ie^{-it^2}dt\)

\(=-(1+i)\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2-i\sin t^2)dt\)

\(=-\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2+\sin t^2)dt-i\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2-\sin t^2)dt\)

まとめ

\(\displaystyle\int_{A}+\displaystyle\int_{B}+\displaystyle\int_{C}=0\) に代入すると

\(\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}=\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2+\sin t^2)dt+i\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2-\sin t^2)dt\) が得られる。

実部、虚部を比較して計算し、積分範囲を倍にするとフレネル積分が得られる。

結果

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

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