フレネル積分

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フレネル積分

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

 

\(\sin x^2\) は \(\sin^2 x\) とは別物です。注意してください。

 

 

イメージ

ガウス積分を使用。(厳密ではないですが分かりやすいかもしれないです。)

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2}=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{-i}}=\sqrt{\pi i}=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}(1+i)\)

 

これは、\(\sqrt{\pi i}=a+bi\)とでも置いて計算すれば出てくる。また、

 

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{ix^2}=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \cos x^2+i\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2\)

 

実部と虚部を比較すると

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

が出てくる。

 

 

証明

複素積分によります。ここでは、次のような経路を考えます。

 

コーシーの積分定理より

 

\(\displaystyle\int_{C_{1}}+\displaystyle\int_{C_{2}}+\displaystyle\int_{C_{3}}=0\)

 

今、\( f(z)=e^{-\frac{z^2}{2}}\)  とする。

 

\(C_{1}\)の経路

ガウス積分より答えが出る。(実軸上なので実数の積分となっている。)

 

\(\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}} dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

 

\(C_{2}\)の経路

\(z=R+ki\)を\(0\leq k\leq R\) まで移動する。

 

\(\biggl|\displaystyle\int_{C_{2}}  f(z)dz\biggr| \leq \displaystyle\lim_{R\to\infty}\displaystyle\int_{0}^{R}\biggl| ie^{\frac{-(R+ki)^2}{2}}\biggr|dk\)  線積分公式

 

\(=\displaystyle\lim_{R\to\infty} \displaystyle\int_{0}^{R}e^{\frac{k^2-R^2}{2}}dk\)  ※\(|e^{-iRk}|=1\)

 

\(=\displaystyle\lim_{R\to\infty} \displaystyle\int_{0}^{R}e^{\frac{R(k-R)}{2}}dk\)   ※\(k^2-R^2=(k+R)(k-R)\geq R(k-R)\)

 

\(\leq\displaystyle\lim_{R\to\infty} e^{-\frac{R^2}{2}}\displaystyle\int_{0}^{R}e^{\frac{Rk}{2}}dk\)

 

\(=\displaystyle\lim_{R\to\infty} \displaystyle\frac{1}{e^{\frac{R^2}{2}}}\displaystyle\frac{2}{R}(e^{\frac{R^2}{2}}-1)\)

 

\(=\displaystyle\lim_{R\to\infty}\displaystyle\frac{2}{R}\biggl(1-\displaystyle\frac{1}{e^{\frac{R^2}{2}}}\biggr)=0\)

 

0に収束。

 

\(C_{3}\)の経路

 

\(-(1+i)\displaystyle\int_{0}^{R}e^{-\frac{(1+i)^2 t^2}{2}}dt\)

 

\(=-(1+i)\displaystyle\int_{0}^{R}ie^{-it^2}dt\)

 

\(=-(1+i)\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2-i\sin t^2)dt\)

 

\(=-\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2+\sin t^2)dt-i\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2-\sin t^2)dt\)

 

まとめ

\(\displaystyle\int_{C_{1}}+\displaystyle\int_{C_{2}}+\displaystyle\int_{C_{3}}=0\) に代入すると

 

\(\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}=\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2+\sin t^2)dt+i\displaystyle\int_{0}^{\infty}(\cos t^2-\sin t^2)dt\) が得られる。

 

実部、虚部を比較して計算し、積分範囲を倍にするとフレネル積分が得られる。

 

結果

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2 dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2 dx=\sqrt{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

 

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