テイラー展開、ローラン展開

テイラー展開とローラン展開

テイラー展開は正則な点（近傍も正則）まわりの展開

ローラン展開は特異点（周りは正則だが、その点は非正則）まわりの展開

テイラー展開

$$f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\displaystyle\frac{f^{(k)}(\alpha)}{k!}(z-\alpha)^k $$

$\alpha=0$の時を特にマクローリン展開という。

特異点

正則ではない点のことを特異点という。孤立特異点（その点では非正則だが、近傍は正則）には3種類ある。

①　除去可能な特異点

$\displaystyle\lim_{z\to \alpha}f(z)$　が存在。

例　$\displaystyle\frac{\sin z}{z}$　（$z=0$）

②　n位の極

$\displaystyle\lim_{z\to \alpha}f(z)(z-\alpha)^n$　が有限値。

例　$\displaystyle\frac{3}{(z-2)^2}$　（$z=2$）

③　真性特異点

①でも②でもない孤立特異点。

例　$e^{\frac{1}{z}}$　（$z=0$）

ローラン展開

$f(z)=$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}(z-\alpha)^k$$+\displaystyle\sum_{l=1}^{\infty} \displaystyle\frac{b_{l}}{(z-\alpha)^l}$$=\biggl[\cdots+\displaystyle\frac{a_{-2}}{z^2}+\displaystyle\frac{a_{-1}}{z}\biggr]$$+\biggl[a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^2+\cdots\biggr]$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}(z-\alpha)^k$　$\cdots$ 正則部

$\displaystyle\sum_{l=1}^{\infty} \displaystyle\frac{b_{l}}{(z-\alpha)^l}$ $\cdots$ 主要部

主要部は特異点に関する部分で、もし展開する点が特異点でなければ主要部が0となり、テイラー展開となる。

例題

1番

$f(z)=ze^{\frac{1}{z}}$ （$z=0$で）

2番

$f(z)=\displaystyle\frac{1}{z-z^2}$ （$z=0$で）

解答

1番

$e^x$のマクローリン展開より

$e^{\frac{1}{z}}=1+\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\frac{1}{2!z^2}+\displaystyle\frac{1}{3!z^3}+\cdots$

両辺に$z$をかけると

$ze^{\frac{1}{z}}=z+1+\displaystyle\frac{1}{2!z}+\displaystyle\frac{1}{3!z^2}+\cdots$

2番

$f(z)=\displaystyle\frac{1}{z-z^2}=\displaystyle\frac{1}{z(1-z)}=\displaystyle\frac{1}{z}(1+z+z^2+\cdots)$$=\displaystyle\frac{1}{z}+1+z+z^2+z^3+\cdots$

2番は、$z=0$だけでなく、$z=1$も特異点なので、このまわりでもローラン展開できる。

$f(z)=\displaystyle\frac{1}{(1-z)[1-(1-z)]}$

$=\displaystyle\frac{1}{1-z}\biggl(1+(1-z)+(1-z)^2+(1-z)^3+\cdots\biggr)$

$=-\displaystyle\frac{1}{z-1}+1-(z-1)+(z-1)^2-(z-1)^3 +\cdots$

特異点分類

テイラー展開やローラン展開といった関数の展開の結果から特異点を分類する方法。

①　主要部がない　＝　除去可能な特異点

②　主要部が有限　＝　n位の極

③　主要部が無限　＝　真性特異点