テイラー展開、ローラン展開

複素解析
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テイラー展開とローラン展開

テイラー展開は正則な点(近傍も正則)まわりの展開

ローラン展開は特異点(周りは正則だが、その点は非正則)まわりの展開

テイラー展開

$$f(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\displaystyle\frac{f^{(k)}(\alpha)}{k!}(z-\alpha)^k $$

\(\alpha=0\)の時を特にマクローリン展開という。

特異点

正則ではない点のことを特異点という。孤立特異点(その点では非正則だが、近傍は正則)には3種類ある。

① 除去可能な特異点

\(\displaystyle\lim_{z\to \alpha}f(z)\) が存在。

例 \(\displaystyle\frac{\sin z}{z}\) (\(z=0\))

② n位の極

\(\displaystyle\lim_{z\to \alpha}f(z)(z-\alpha)^n\) が有限値。

例 \(\displaystyle\frac{3}{(z-2)^2}\) (\(z=2\))

③ 真性特異点

①でも②でもない孤立特異点。

例 \(e^{\frac{1}{z}}\) (\(z=0\))

ローラン展開

\(f(z)=\)\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}(z-\alpha)^k\)\(+\displaystyle\sum_{l=1}^{\infty} \displaystyle\frac{b_{l}}{(z-\alpha)^l}\)\(=\biggl[\cdots+\displaystyle\frac{a_{-2}}{z^2}+\displaystyle\frac{a_{-1}}{z}\biggr]\)\(+\biggl[a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^2+\cdots\biggr]\)

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}(z-\alpha)^k\) \(\cdots\)   正則部

\(\displaystyle\sum_{l=1}^{\infty} \displaystyle\frac{b_{l}}{(z-\alpha)^l}\)  \(\cdots\)  主要部

主要部は特異点に関する部分で、もし展開する点が特異点でなければ主要部が0となり、テイラー展開となる。 

例題

1番

\(f(z)=ze^{\frac{1}{z}}\)   (\(z=0\)で)

2番

\(f(z)=\displaystyle\frac{1}{z-z^2}\)   (\(z=0\)で)

解答

1番

\(e^x\)のマクローリン展開より

\(e^{\frac{1}{z}}=1+\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\frac{1}{2!z^2}+\displaystyle\frac{1}{3!z^3}+\cdots\)   

両辺に\(z\)をかけると

\(ze^{\frac{1}{z}}=z+1+\displaystyle\frac{1}{2!z}+\displaystyle\frac{1}{3!z^2}+\cdots\) 

2番

\(f(z)=\displaystyle\frac{1}{z-z^2}=\displaystyle\frac{1}{z(1-z)}=\displaystyle\frac{1}{z}(1+z+z^2+\cdots)\)\(=\displaystyle\frac{1}{z}+1+z+z^2+z^3+\cdots\)

2番は、\(z=0\)だけでなく、\(z=1\)も特異点なので、このまわりでもローラン展開できる。

\(f(z)=\displaystyle\frac{1}{(1-z)[1-(1-z)]}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{1-z}\biggl(1+(1-z)+(1-z)^2+(1-z)^3+\cdots\biggr)\)

\(=-\displaystyle\frac{1}{z-1}+1-(z-1)+(z-1)^2-(z-1)^3 +\cdots\)

特異点分類

テイラー展開やローラン展開といった関数の展開の結果から特異点を分類する方法。

① 主要部がない = 除去可能な特異点

② 主要部が有限 = n位の極

③ 主要部が無限 = 真性特異点

 

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