微分方程式3 同次形

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微分方程式 同次形

 

 

同次形

\(y’=f(\displaystyle\frac{y}{x})\)の形の微分方程式。

\(u=\displaystyle\frac{y}{x}\) と置いて解く。\(y=ux\) となり、両辺\(x\)で微分する

 

\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{d}{dx}(ux)=\displaystyle\frac{du}{dx}\cdot x+\displaystyle\frac{dx}{dx}\cdot u=x\displaystyle\frac{du}{dx}+u\)

 

これらの変形を代入することで、変数分離形に持ち込むことが出来る。つまり、微分方程式が解ける。

 

問題

\(x^2+y^2=2xyy’\)

 

解答

\(y’=\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{x^2+y^2}{2xy}=\displaystyle\frac{\biggl(\displaystyle\frac{y}{x}\biggr)^2+1}{2\biggl(\displaystyle\frac{y}{x}\biggr)}\) (分子分母を\(x^2\)で割った)

 

ここで\(u=\displaystyle\frac{y}{x}\) と置く。\(y=ux\) となり、両辺\(x\)で微分する

 

\(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{d}{dx}(ux)=\displaystyle\frac{du}{dx}\cdot x+\displaystyle\frac{dx}{dx}\cdot u=x\displaystyle\frac{du}{dx}+u\)

 

これらを問題の式に代入すると

 

\(u+x\displaystyle\frac{du}{dx}=\displaystyle\frac{u^2+1}{2u}\) となってこれを変形すると

 

\(x\cdot \displaystyle\frac{du}{dx}=\displaystyle\frac{1-u^2}{2u}\)

 

これは変数分離で解ける形となっているのでそのまま解く。

 

\(u\neq \pm 1\)のとき

変数分離でそのまま解く。

 

\(\displaystyle\frac{2u}{u^2-1}du=-\displaystyle\frac{dx}{x}\)

 

両辺を積分する。

 

\(\log |u^2-1|=-\log |x|+C\)

 

\(x(u^2+1)=\pm e^C=A\)  (\(A\)は任意定数)

 

\(u\)をもとに戻すと答えとなり、答えは

\(y^2=x^2+Ax\)

 

\(u= \pm 1\) つまり、\(\displaystyle\frac{y}{x}=\pm 1\)のとき

 

\(y^2=x^2\) となっていて \(A=0\) のときに対応している。

 

 

 

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