目次
\(e^\pi\)と\(\pi^e\)の大小
計算
\(e^\pi\)と\(\pi^e\)
両方の対数を取ると、\(\pi\log e\)と\(e\log \pi\)となる。
\(\pi e\)で割ると\(\displaystyle\frac{\log e}{e}\)と\(\displaystyle\frac{\log \pi}{\pi}\)。
よって、まずはこれらの値を比べよう、と考えます。
\(f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}\)とおく。
\(f'(x)=\displaystyle\frac{1-\log x}{x^2}\)であり、増減表を書く。
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(e\) | |||
| \(f'(x)\) | ↗ | ↗ | \(0\) | ↘ | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(\displaystyle\frac{1}{e}\) |
よって、\(f(e)>f(\pi)\)なので
\(\displaystyle\frac{\log e}{e}>\displaystyle\frac{\log \pi}{\pi}\)
両辺\(\pi e\)倍すると、\(\pi\log e>e\log \pi\)
\(\log e^{\pi}>\log \pi^e\)
底\(e\)は1より大きいので\(e^{\pi}>\pi^e\)となる。
答え
\(e^{\pi}>\pi^e\)
