ヘビサイドの目隠し法

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ヘビサイドの目隠し法

部分分数分解の係数を決める方法の1つです。例題で見てみるのが分かりやすいのでやってみましょう。

 

 

例題1

\(\displaystyle\frac{1}{(1-x^2)^2}\)を部分分数分解する。 

※難問積分で時々出てくる部分分数分解。

 

解き方

\(\displaystyle\frac{1}{(1-x^2)^2}=\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2(1+x)^2}\)

 

\(=\displaystyle\frac{A}{1-x}+\displaystyle\frac{B}{1+x}+\displaystyle\frac{C}{(1-x)^2}+\displaystyle\frac{D}{(1+x)^2}\)     とおく。

 

① 両辺に \((1-x)^2\) をかける

\(\displaystyle\frac{1}{(1+x)^2}=A(1-x)+\displaystyle\frac{B(1-x)^2}{1+x}+C+\displaystyle\frac{D(1-x)^2}{(1+x)^2}\) 

 

\(x=1\) を代入すると \(C=\displaystyle\frac{1}{4}\)

 

② 上の式を微分

\(-\displaystyle\frac{2}{(1+x)^3}=-A+B\times\displaystyle\frac{-2(1-x)(1+x)-(1-x)^2}{(1+x)^2}\)

 

\(+D\times\displaystyle\frac{-2(1-x)(1+x)^2-2(1-x)^2(1+x)}{(1+x)^4}\) 

 

\(x=1\) を代入すると \(A=\displaystyle\frac{1}{4}\)

 

③ 両辺に \((1+x)^2\) をかける

\(\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle\frac{A(1+x)^2}{1-x}+B(1+x)+\displaystyle\frac{C(1+x)^2}{(1-x)^2}+D\) 

 

\(x=-1\) を代入すると \(D=\displaystyle\frac{1}{4}\)

 

④ 上の式を微分

\(\displaystyle\frac{2}{(1-x)^3}=A\times\displaystyle\frac{2(1+x)(1-x)+(1+x)^2}{(1-x)^2}+B\)

 

\(+C\times\displaystyle\frac{2(1+x)(1-x)^2-2(1+x)^2(x-1)}{(1-x)^4}\) 

 

\(x=-1\) を代入すると \(B=\displaystyle\frac{1}{4}\)

 

まとめ

\(\displaystyle\frac{1}{(1-x^2)^2}=\displaystyle\frac{1}{4}\biggl(\displaystyle\frac{1}{1-x}+\displaystyle\frac{1}{1+x}+\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}+\displaystyle\frac{1}{(1+x)^2}\biggr)\)

 

重解がある時は面倒だが、ない時は相当楽になる。

微分が大変なときは、微分前の式に簡単な\(x\)の値を代入するのもよい。(その分だけ恒等式が得られる。)

例えば、\(x=0\) を問題の式に代入すると  \(1=A+B+C+D\) が得られる。

既に得られた式と連立する。

※代入してるものが定義外になってるが、ここは極限飛ばしたと考える。そういうこともあるので、記述でいきなりこれを使うと微妙かもしれない。積分途中等で、純粋に部分分数分解したいときだけに使うと良いと思います。

 

 

例題2

\(\displaystyle\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\displaystyle\frac{A}{x-1}+\displaystyle\frac{B}{x-2}+\displaystyle\frac{C}{x-3}\)

 

解答

① 両辺に \((x-1)\) をかける

\(\displaystyle\frac{1}{(x-2)(x-3)}=A+\displaystyle\frac{B(x-1)}{x-2}+\displaystyle\frac{C(x-1)}{x-3}\)

 

\(x=1\) を代入すると \(A=\displaystyle\frac{1}{2}\)

 

② 両辺に \((x-2)\) をかける

\(\displaystyle\frac{1}{(x-1)(x-3)}=\displaystyle\frac{A(x-2)}{x-1}+B+\displaystyle\frac{C(x-2)}{x-3}\)

 

\(x=2\) を代入すると \(B=-1\)

 

③ 両辺に \((x-3)\) をかける

\(\displaystyle\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\displaystyle\frac{A(x-3)}{x-3}+\displaystyle\frac{B(x-3)}{x-2}+C\)

 

\(x=3\) を代入すると \(C=\displaystyle\frac{1}{2}\)

 

まとめ

\(\displaystyle\frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{1}{x-2}+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{x-3}\)

 

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