目次
基本事項
$a>0$ かつ $b>0$の時,次の関係式が成立する.
$$\displaystyle\frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}$$
等号成立は $a=b$
相加平均 …… 一般的に用いられる平均のこと。全部の要素を足して要素数で割る。
相乗平均 …… 要素数$n$として$n$個の積の$n$乗根である。
証明
$$ 2(左辺-右辺)＝(a+b)-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^{2}\geq 0$$
$n$変数
上の関係は\(n\)次の式になったときも同様に成り立つ.
$a_{1}>0 , a_{2}>0 , \cdots , a_{n}>0$ の時,次の関係式が成立する.
$$\displaystyle\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}}$$
等号成立は$a_{1}=a_{2}=a_{3}= \cdots =a_{n}$
証明
$\displaystyle\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+ \cdots +a_{n}}{n} = A_{n}$ と $\sqrt[n]{a_{1}a_{2}a_{3}・・・a_{n}} = B_{n}$ とおく.
前提として$e^x \geq x+1$ は成立する.（左辺ー右辺で微分するなどしてわかる）
$$1=e^0=e^{(\frac{a_{1}}{A_{n}}-1)+(\frac{a_{2}}{A_{n}}-1)+\cdots +(\frac{a_{n}}{A_{n}}-1)}$$
$$=e^{(\frac{a_{1}}{A_{n}}-1)} e^{(\frac{a_{2}}{A_{n}}-1)} \cdots e^{(\frac{a_{n}}{A_{n}}-1)}$$
$$\geq \biggl(\displaystyle\frac{a_{1}}{A_{n}}-1+1\biggr)\biggl(\displaystyle\frac{a_{2}}{A_{n}}-1+1\biggr) \cdots \biggl(\displaystyle\frac{a_{n}}{A_{n}}-1+1\biggr)=\displaystyle\frac{B_{n}^n}{A_{n}^n}$$
$A_{n} \geq B_{n}$ が成立する.
