Maxwell方程式

マクスウェル方程式電磁気学
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Maxwell方程式

電磁気学の根幹をなす基本方程式です。

 

Maxwell方程式とは

以下の4つの式をまとめてMaxwell方程式といいます。(微分形)

\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r},t)}{\varepsilon_{0}}  \cdots\) ガウスの法則

\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots\) 電磁誘導

\(\mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0 \cdots\) 単磁荷が存在しない

\(\mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=  \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \varepsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots アンペールの法則\)

 

電束密度\(\boldsymbol{D}=\varepsilon_{0}\boldsymbol{E}\)、磁場強度\(\boldsymbol{H}=\displaystyle\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_{0}}\)を使うと以下のようにも書けます。

 

\(\nabla\cdot \boldsymbol{D}=\rho\)

\(\nabla\times\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot\boldsymbol{B}=0\)

\(\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\)

 

ちなみに意味は同じだが、式が違う積分形のMaxwell方程式もある。

\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}=Q\)

\(\displaystyle\int_{C} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{s}=-\displaystyle\frac{\partial }{\partial t}\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}\)

\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}=0\)

\(\displaystyle\int_{C} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{s}=\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{i}\cdot d\boldsymbol{S}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \displaystyle\int\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}\)

 

 

\(\boldsymbol{E}\) は電場、\(\boldsymbol{B}\) は磁束密度(磁場に対応)。

電磁気学の根本になる大変重要な方程式です。

 

 ひとつずつ式の意味を見てみましょう。

 

ガウスの法則

 

\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r},t)}{\epsilon_{0}}\) 

 

※\(\mathrm{div}\)は発散と呼ばれ、ベクトル場の流出を表します。以下、発散のイメージ

 

\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}\) 全体で一つの値となっています。\(\epsilon_{0}\)は定数で、\(\rho\) は、電荷密度。

 

右辺から考えると、「電荷が存在している」→「電場が発生している」ということを意味します。

電荷が存在してるならばそこから電場が発生している」ということを表しています。

 

積分型ガウスの法則

ガウスの法則とは「点電荷を内部に含む閉曲面を貫く電気力線の総和点電荷の電気量 Q に比例する」というものです。ここで、総電荷Q(C)、半径rの球を考えてみます。球まわりの電場は

 

\(|\boldsymbol{E}|=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\displaystyle\frac{Q}{r^{2}}\) 

となる。これを面積積分すると

\(\displaystyle\int_{S} E(r) dS\)\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\displaystyle\frac{Q}{r^{2}} \cdot 4\pi r^{2}\)\(=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_{0}}\)

となる。ところで、この閉曲面は取り方によらないことが知られている。つまり、一般の場合にも拡張できて次の式が成立する。

\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})dS = \displaystyle\frac{Q}{\epsilon_{0}}\) 

※\(Q\)は閉曲面内の総電荷、\(\boldsymbol{n}\)は閉曲面上外向きの単位ベクトルです。

左辺が「点電荷からでる電気力線」、右辺が「内部の総電荷」でこれが関係しているということです。

\(Q=\displaystyle\int_{V}\rho(\boldsymbol{r})dV\)なので

 

\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})dS = \displaystyle\frac{1}{\epsilon_{0}} \int_{V}\rho(\boldsymbol{r})dV\)  \(\cdots\)  積分型のガウスの法則

 

微分型ガウスの法則

ガウスの発散定理を使うと面積積分を体積積分に変形でき、

左辺=\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})dS =\int_{V}\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})dV\)

 

よって \(\displaystyle\int_{V}\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})dV=\displaystyle\frac{1}{\epsilon_{0}} \int_{V}\rho(\boldsymbol{r})dV\)

 

中身を比較すると、\(\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_{0}}\)    \(\cdots \) 微分型のガウスの法則

 

 ファラデーの電磁誘導法則

\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \)

 

コイルを考えてみると、\(\displaystyle\frac{\partial\vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}\)  すなわち「磁場の変化」が「回転(\(\mathrm{rot}\))する電場(コイルに電流)」を生み出すということです。

 

これはベクトルに関する等式であり、3成分ある。※\(\mathrm{rot}\)  とは回転を意味する。

 

積分型の電磁誘導法則

ファラデーの電磁誘導の法則(誘導起電力は回路を貫く磁界の変化に比例する)より、誘導起電力を\(V\)、\(\phi\)を磁束として以下が成立。

 \(V=-\displaystyle\frac{d\phi}{dt}\)    

 

\(V=\displaystyle\oint_{C}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r}=\displaystyle\int_{S}\mathrm{rot}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r}\)

 

 磁束は閉曲面に囲まれる曲面の表面積分。

 \(-\displaystyle\frac{d\phi}{dt}=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}\)

 

中身を比較することで次の式が得られる。

\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\) 

 

単磁荷が存在しない

\(\mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0 \) 

 

\(\mathrm{div}\) は発散を意味します。すなわち、この式は「磁場の発散」は起こらないことを言っています。

磁場が一方的に発散するようなことはない」\(=\)「モノポール(単磁荷)が存在しない」ことをこの式は言っています。

 

 アンペールの法則

 

\(\mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=  \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \) 

\(\mu_{0}\) は透磁率で、\(\boldsymbol{i}\)は電流密度。向きに注目したものは「右ねじの法則」と呼ばれます。

右辺の第一項は「電流」を第二項は「電場の変化」を表します。つまり、「電流」や「電場の変化」によって回転する磁場が発生するという主張です。これはベクトルに関する等式であり、3成分ある。

 

 

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