目次
Maxwell方程式とは
電磁気学の根幹をなす重要な基本方程式です。以下の4つの式をまとめてMaxwell方程式といいます。
※\(\boldsymbol{E}\) は電場、\(\boldsymbol{B}\) は磁束密度（磁場に対応）します。
微分形
\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r},t)}{\varepsilon_{0}} \cdots\) ガウスの法則
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots\) 電磁誘導
\(\mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0 \cdots\) 単磁荷が存在しない
\(\mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)= \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \varepsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \cdots アンペールの法則\)
電束密度\(\boldsymbol{D}=\varepsilon_{0}\boldsymbol{E}\)、磁場強度\(\boldsymbol{H}=\displaystyle\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_{0}}\)を使うと以下のようにも書けます。
\(\nabla\cdot \boldsymbol{D}=\rho\)
\(\nabla\times\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot\boldsymbol{B}=0\)
\(\nabla\times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{i}+\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\)
積分形
意味は同じですが、Maxwell方程式を積分形で表すこともある。
\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}=Q\)
\(\displaystyle\int_{C} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{s}=-\displaystyle\frac{\partial }{\partial t}\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}\)
\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}=0\)
\(\displaystyle\int_{C} \boldsymbol{H} \cdot d\boldsymbol{s}=\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{i}\cdot d\boldsymbol{S}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \displaystyle\int\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}\)
それぞれの式の意味
①ガウスの法則
\(\mathrm{div} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r},t)}{\epsilon_{0}}\)
\(\mathrm{div}\)は発散と呼ばれ、ベクトル場の流出を表します。\(\epsilon_{0}\)は定数で、\(\rho\) は、電荷密度。
右辺から考えると、「電荷が存在している」→「電場が発生している」ということを意味します。
証明
ガウスの法則とは「点電荷を内部に含む閉曲面を貫く電気力線の総和が点電荷の電気量 Q に比例する」というものです。
ここで、総電荷Q(C)、半径rの球を考えてみます。球まわりの電場は
\(|\boldsymbol{E}|=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\displaystyle\frac{Q}{r^{2}}\)
これを面積積分すると
\(\displaystyle\int_{S} E(r) dS\)\(=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\displaystyle\frac{Q}{r^{2}} \cdot 4\pi r^{2}\)\(=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_{0}}\)
となる。ところで、この閉曲面は取り方によらないことが知られている。つまり、一般の場合にも拡張できて次の式が成立する。
\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})\cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})dS = \displaystyle\frac{Q}{\epsilon_{0}}\)
※\(Q\)は閉曲面内の総電荷、\(\boldsymbol{n}\)は閉曲面上外向きの単位ベクトルです。
左辺が「点電荷からでる電気力線」、右辺が「内部の総電荷」でこれが関係しているということです。
\(Q=\displaystyle\int_{V}\rho(\boldsymbol{r})dV\)なので
\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})dS = \displaystyle\frac{1}{\epsilon_{0}} \int_{V}\rho(\boldsymbol{r})dV\) \(\cdots\) 積分型のガウスの法則
ガウスの発散定理を使うと面積積分を体積積分に変形でき、
左辺＝\(\displaystyle\int_{S} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{n}(\boldsymbol{r})dS =\int_{V}\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})dV\)
よって \(\displaystyle\int_{V}\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})dV=\displaystyle\frac{1}{\epsilon_{0}} \int_{V}\rho(\boldsymbol{r})dV\)
中身を比較すると、\(\mathrm{div}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\displaystyle\frac{\rho(\boldsymbol{r})}{\epsilon_{0}}\) \(\cdots \) 微分型のガウスの法則
②ファラデーの電磁誘導法則
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=-\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \)
コイルを考えてみると、\(\displaystyle\frac{\partial\vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}\) すなわち「磁場の変化」が「回転（\(\mathrm{rot}\)）する電場（コイルに電流）」を生み出す。
これはベクトルに関する等式であり、3成分ある。※\(\mathrm{rot}\) とは回転を意味する。
証明
ファラデーの電磁誘導の法則（誘導起電力は回路を貫く磁界の変化に比例する）より、誘導起電力を\(V\)、\(\phi\)を磁束として以下が成立。
\(V=-\displaystyle\frac{d\phi}{dt}\)
\(V=\displaystyle\oint_{C}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r}=\displaystyle\int_{S}\mathrm{rot}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r}\)
磁束は閉曲面に囲まれる曲面の表面積分。
\(-\displaystyle\frac{d\phi}{dt}=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{S}\)
中身を比較することで次の式が得られる。
\(\mathrm{rot}\boldsymbol{E}=-\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\)
③単磁荷が存在しない
\(\mathrm{div} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)=0 \)
\(\mathrm{div}\) は発散を意味します。すなわち、この式は「磁場の発散」は起こらないことを言っています。
「磁場が一方的に発散するようなことはない」\(=\)「モノポール（単磁荷）が存在しない」ことをこの式は言っています。
④アンペールの法則
\(\mathrm{rot} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t)= \mu_{0} \boldsymbol{i}(\boldsymbol{r},t) + \epsilon_{0}\mu_{0}\displaystyle\frac{\partial\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)}{\partial t} \)
\(\mu_{0}\) は透磁率で、\(\boldsymbol{i}\)は電流密度。向きに注目したものは「右ねじの法則」と呼ばれます。
右辺の第一項は「電流」を第二項は「電場の変化」を表します。つまり、「電流」や「電場の変化」によって回転する磁場が発生するという主張です。これはベクトルに関する等式であり、3成分ある。
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