バーゼル問題 

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バーゼル問題とは

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) という等式で、オイラーが解いた。

※バーゼルとはオイラーの故郷名。

 

証明

フーリエ変換による

\( f(x)=x^2\)を考える。(\(-\pi\leq x\leq \pi\))

偶関数であることに注意してフーリエ級数展開する。

 

\(f(x) =  \displaystyle\frac{a_{0}}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\cos kx \)

 

ここで \( a_{0} = \displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int _{-\pi}^{\pi}x^2 dx=\displaystyle\frac{1}{\pi} \biggl[\displaystyle\frac{x^3}{3} \biggr]_{-\pi}^{\pi}=\displaystyle\frac{2}{3}\pi^2 \)

および \(a_{k}=\displaystyle\frac{4}{k^2}(-1)^k\) 

 

より \(a_{0}\) と \(a_{k}\)  を代入すると

 

\(x^2=\displaystyle\frac{\pi^2}{3} + 4\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^k\cos kx}{k^2} \)  ※フーリエ級数。

 

\(x=\pi\)を代入して整理すると \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) 

 

三角関数級数展開による

\(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\)を2通りに表して比較します。オイラーが最初に等式を導いたときにこの方法で解いたそうです。

 

① \(\sin x\)をマクローリン展開

\(\sin x=x-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^5}{5!}-\displaystyle\frac{x^7}{7!}+\cdots\)

 

\(\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1-\displaystyle\frac{x^2}{3!}+\displaystyle\frac{x^4}{5!}-\displaystyle\frac{x^6}{7!}+\cdots\)

 

② \(\sin x\)を因数分解

\(\sin x=0\) の解は \(x=n\pi\) です。因数定理を用いると以下のように形式的に因数分解できます。

 

\(\sin x=x(1-\displaystyle\frac{x}{\pi})(1+\displaystyle\frac{x}{\pi})(1-\displaystyle\frac{x}{2\pi})(1+\displaystyle\frac{x}{2\pi})(1-\displaystyle\frac{x}{3\pi})(1+\displaystyle\frac{x}{3\pi})\cdots\)

 

\(\displaystyle\frac{\sin x}{x}=(1-\displaystyle\frac{x^2}{\pi^2})(1-\displaystyle\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\displaystyle\frac{x^2}{9\pi^2})\cdots\)

 

※厳密には \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty} \biggl(1-\displaystyle\frac{x^2}{n^2\pi^2}\biggr)\) は三角関数の無限乗積展開というもの。

 

係数比較

上の二式の \(x^2\)の係数を比較する。

 

\(-\displaystyle\frac{1}{3!}=-\displaystyle\frac{1}{\pi^2}-\displaystyle\frac{1}{4\pi^2}-\displaystyle\frac{1}{9\pi^2}\cdots=-\displaystyle\frac{1}{\pi^2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^2}\)

 

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) が導かれる。

 

パーセバル等式

「パーセバル等式」

\(\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} {f(x)}^2 dx=\displaystyle\frac{a_{0}^2}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}^2+b_{n}^2)\)

 

\(a_{0}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx\)

\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx\)

\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \sin nx dx\)

 

ここで \(f(x)=x\) とおくと、奇関数なので \(a_{0}\)、\(a_{n}\)は0。

\(b_{n}\)を部分積分で求めると(計算略)

 

\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} x\sin nx dx=\displaystyle\frac{2}{n}(-1)^{n-1}\)

 

となるので、これらをパーセバルの等式に代入する。

 

\(\displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x^2 dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{4}{n^2}\)

 

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) が導かれる。

 

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