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フーリエ級数に関連した等式を2つ紹介、証明します。
目次
問題
以下を証明する。
1番
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{1} + \displaystyle\frac{1}{4} +\displaystyle\frac{1}{9} \cdots =\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) ※バーゼル問題
2番
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{1} – \displaystyle\frac{1}{4} +\displaystyle\frac{1}{9} – \cdots =\displaystyle\frac{\pi^2}{12}\)
証明
\( f(x)=x^2\)を考える。（\(-\pi\leq x\leq \pi\)）
偶関数であることに注意してフーリエ級数展開する。
\(f(x) = \displaystyle\frac{a_{0}}{2} + \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}\cos kx \)
\(a_{0}\)
\( a_{0} = \displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int _{-\pi}^{\pi} f(x) dx\)という式を使うと
\( a_{0} = \displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int _{-\pi}^{\pi}x^2 dx=\displaystyle\frac{1}{\pi} \biggl[\displaystyle\frac{x^3}{3} \biggr]_{-\pi}^{\pi}=\displaystyle\frac{2}{3}\pi^2 \)
\(a_{k}\)
\(a_{k} = \displaystyle\frac{1}{\pi}\displaystyle\int _{-\pi}^{\pi} f(x)\cos kx dx\)の式を使うと
\(\pi a_{k} = \displaystyle\int _{-\pi}^{\pi}x^2\cos kx dx=\biggl[\displaystyle\frac{x^2\sin kx}{k}\biggr]_{-\pi}^{\pi}-\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\displaystyle\frac{2x\sin kx}{k} dx\)
\(=\biggl[\displaystyle\frac{2x\cos kx}{k^2}\biggr]_{-\pi}^{\pi}-\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\displaystyle\frac{2\cos kx}{k^2} dx\)
\(=\displaystyle\frac{4\pi\cos k\pi}{k^2}\)\(-\biggl[\displaystyle\frac{2\sin kx}{k^3}\biggr]_{-\pi}^{\pi}\)
\(=\displaystyle\frac{4\pi\cos k\pi}{k^2}\)
よって求める \(a_{k}\) は \(a_{k}=\displaystyle\frac{4}{k^2}(-1)^k\)
\(f(x)\)
\(a_{0}\) と \(a_{k}\) を\(f(x)\)の式に代入すると、
\(f(x)=\displaystyle\frac{\pi^2}{3} + 4\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^k\cos kx}{k^2} \)
※フーリエ級数。
\( x=\pi\) を代入 1番
\(\pi^2=\displaystyle\frac{\pi^2}{3}+4\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^2}\)
式を整理すると \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) が示される。(1番)
\( x=0\) を代入 2番
\(0=\displaystyle\frac{\pi^2}{3}+4\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^k}{k^2}\)
式を整理すると \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}=\displaystyle\frac{\pi^2}{12}\) が示される。(2番)
