[mathjax]
式
普通に計算したら無限大であるはずの自然数の総和が解析接続すると発散しないという面白い等式です。
\(\zeta(-1)=1+2+3+\cdots+ =-\displaystyle\frac{1}{12}\)
※\(\zeta(s)\)はゼータ関数で、\(\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n^s}\)です。
簡易証明
\(1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots =\displaystyle\frac{1}{1-x}\)
※定義域は\(|x|<1\)
微分すると
\(1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}+\cdots =\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}\)
※定義域は\(|x|<1\)
解析接続
ここで解析接続する。解析接続は簡単に言うと定義域の拡張。
今回は\(|x|<1\)の定義域を拡張して等式に \(x=-1\) を代入する。
\(1-2+3+4-5+\cdots =\displaystyle\frac{1}{4}\)
※通常、左辺は和が \(1,-1,2,-2,\cdots\)となり、収束しない。（振動する）
この式を変形
\(\displaystyle\frac{1}{4}=1-2+3-4+5-6\cdots\)
\(=(1+2+3+4+5+\cdots+)-2(2+4+6+\cdots)\)
\(=\zeta(-1)-4\zeta(-1)=-3\zeta(-1)\)
よって \(\zeta(-1)=1+2+3+\cdots+ =-\displaystyle\frac{1}{12}\) が得られる。
証明
まずはじめに以下の式を証明する。
\(\zeta(\nu)=\displaystyle\frac{1}{\Gamma(\nu)}\displaystyle\int_{0}^{\infty} dt e^{-t}t^{\nu-1} \left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{-t}}-\displaystyle\sum_{-1}^{1} A_{k}t^k \right)+\left(\displaystyle\frac{A_{-1}}{\nu-1}+A_{0}+A_{1}\nu\right)\) ……☆
\(A_{k}\)は以下のローラン展開の係数で
\(A_{-1}=1\) \(A_{0}=\displaystyle\frac{1}{2}\) \(A_{1}=\displaystyle\frac{1}{12}\)
\(\displaystyle\frac{1}{1-e^{-z}}=\displaystyle\frac{1}{z}\cdot \displaystyle\frac{1}{1-\frac{1}{2}z+\frac{1}{6}z^2}=\displaystyle\frac{1}{z}+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{z}{12}\)
①
\(\displaystyle\frac{1}{\Gamma(\nu)}\displaystyle\int_{0}^{\infty} dt e^{-t}t^{\nu-1}\displaystyle\sum_{-1}^{1} A_{k}t^k\)
\(=\displaystyle\frac{1}{\Gamma(\nu)}\displaystyle\sum_{-1}^{1}\displaystyle\int_{0}^{\infty} dt e^{-t} A_{k} t^{(\nu+k)-1} \)
\(=\displaystyle\frac{1}{\Gamma(\nu)}\displaystyle\sum_{-1}^{1}A_{k}\Gamma(\nu+k)\)
\(=\displaystyle\frac{A_{-1}}{\nu-1}+A_{0}+A_{1}\nu\)
②
\(\displaystyle\int_{0}^{\infty} dt e^{-t}t^{\nu-1} \displaystyle\frac{1}{1-e^{-t}}=\zeta(\nu)\Gamma(\nu)\)
①②より☆式が示された。ここで、\(\varepsilon\simeq 0\)で
\(\Gamma(\varepsilon-1)=\displaystyle\frac{\Gamma(\varepsilon)}{\varepsilon-1}\simeq -\displaystyle\frac{1}{\varepsilon}\)
すなわち、☆の第一項が0になるので、
\(\zeta(-1)=\displaystyle\frac{-\frac{1}{2}}{-1-1}+\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{12}(-1)=-\displaystyle\frac{1}{12}\)
