ビュフォンの針

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ビュフォンの針

 

ビュフォンの針とはどういう問題?

長さaの針長さbの等間隔で書かれた線に落とした時に針が線と交わる確率を求めるという問題です。

この時、確率が

\(\displaystyle\frac{2a}{b\pi }\) 

となり確率結果に円周率が入ってくることで有名な問題です。

頭脳王か何かの問題でも一度出ていました(記憶が正しければ。)

 

導出方法

下に図を載せます。

 

 y: 針の中心から最も近い線までの距離。

θ :平行線と針のなす角。

図のように変数設定。すると縦の長さの関係に注目すると、

 

針と交わる ⇔ \( y \leq \displaystyle\frac{a}{2} \sin \theta\)

 

ということが分かります。

 

\(\displaystyle\frac{a}{2} \sin \theta\) とは針の半分の距離を平行線に垂直な方向に変換した長さ。

 

ここからが新概念かもしれないですが、確率は面積です。

今、針を適当に投げるので \(y\) や \(\theta\) は自由です。

( \( 0 \leq y \leq \displaystyle\frac{b}{2}\) 、\( 0 \leq \theta <  \displaystyle\frac{\pi}{2}\) という制限の中では。)

 

適当に投げるということはθ-y 平面の上記の範囲に一点を指定することになります。範囲の中で任意の点が指定される確率は同様に確からしいです。

 

全体の範囲

\( 0 \leq y \leq \displaystyle\frac{b}{2}\) 、\( 0 \leq \theta <  \displaystyle\frac{\pi}{2}\)  

 

求める範囲

\( y \leq \displaystyle\frac{a}{2} \sin \theta\) 

 

 

一番大きな四角形が全事象、赤斜線部分が交わる時です。\( y \leq \displaystyle\frac{a}{2} \sin \theta\) なので。

 

面積の比が確率に相当するので計算すると、

 

\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a}{2}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin \theta d\theta}{\displaystyle\frac{\pi}{2}\displaystyle\frac{b}{2}}\)

 

\(=\displaystyle\frac{2a}{b\pi }\)

 

となります。

 

 

 

 

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