n人でじゃんけん あいこになる確率

確率統計
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[mathjax]

 

問題

n人でじゃんけんをするとき、あいこになる確率を求めよ。

 

解答

余事象で考える。すなわちはじめに「あいこにならない確率」を求める。

 

あいこにならないのは、「$n$人がグー、チョキ、パーのうち2つのみを出している場合」

 

この場合の数は、$_{3}\mathrm{C}_{2}\times(2^{n}-2)$通りある。

 

※$_{3}\mathrm{C}_{2}$というのは$n$人が出す2つの選びかたに「(グー、チョキ)、(チョキ、パー)、(パー、グー)」の3通りあることを示している。

 

※$2$を引いているのは、全員が同じ手を出した場合を引いている。(あいこになってしまうため)

 

全事象が$3^{n}$なので、あいこになる確率は、$\displaystyle\frac{_{3}\mathrm{C}_{2}\times(2^{n}-2)}{3^n}$

 

よって求める確率は

$1-\displaystyle\frac{_{3}\mathrm{C}_{2}\times(2^{n}-2)}{3^n}=\displaystyle\frac{3^{n}-3\cdot 2^{n}+6}{3^{n}}$

 

※$n\to\infty$にすると$1$に収束する。

 

 

 

 

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