[mathjax]
問題
n人でじゃんけんをするとき、あいこになる確率を求めよ。
解答
余事象で考える。すなわちはじめに「あいこにならない確率」を求める。
あいこにならないのは、「$n$人がグー、チョキ、パーのうち2つのみを出している場合」
この場合の数は、$_{3}\mathrm{C}_{2}\times(2^{n}-2)$通りある。
※$_{3}\mathrm{C}_{2}$というのは$n$人が出す2つの選びかたに「（グー、チョキ）、（チョキ、パー）、（パー、グー）」の3通りあることを示している。
※$2$を引いているのは、全員が同じ手を出した場合を引いている。（あいこになってしまうため）
全事象が$3^{n}$なので、あいこになる確率は、$\displaystyle\frac{_{3}\mathrm{C}_{2}\times(2^{n}-2)}{3^n}$
よって求める確率は
$1-\displaystyle\frac{_{3}\mathrm{C}_{2}\times(2^{n}-2)}{3^n}=\displaystyle\frac{3^{n}-3\cdot 2^{n}+6}{3^{n}}$
※$n\to\infty$にすると$1$に収束する。
