幾何分布 期待値と分散

確率統計
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幾何分布

成功確率が$p$の試行においてはじめて成功するまでの確率に関係している。

 

確率

$P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$ $k=1,2,\cdots $ 初めて成功するまでの成功視点

 

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} p(1-p)^{k-1}=1$を満たしている。(等比級数)

 

※$P(X=k)=p(1-p)^{k}$ $k=0,1,2,\cdots $の分布を考えることもある。

 

期待値

幾何分布の期待値は$E[X]=\displaystyle\frac{1-p}{p}$と書ける。以下導出です。

※二項分布などと違い、$k$は無限まであり得るので和の範囲が変わっている。

 

$E[X] =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k P(X=k)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} kp(1-p)^{k-1}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} p(1-p)^{k-1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (k-1)p(1-p)^{k-1}$

$=1+\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} kp(1-p)^k$

$=1+(1-p)\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} kp(1-p)^{k-1}$

$=1+(1-p)E[X]$

 

整理すると、$E[X]=\displaystyle\frac{1}{p}$が導かれる。

 

 

分散

幾何分布の分散は$\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\frac{1-p}{p^2}$と書ける。以下導出です。

 

$E[X^2]=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k^2 P(X=k)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k^2 p(1-p)^{k-1}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(k-1)^2 p(1-p)^{k-1}+2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}kp(1-p)^{k-1}-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}p(1-p)^{k-1}$

$=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} k^2 p(1-p)^k+2E[X]-1$

$=(1-p)E[X^2]+\displaystyle\frac{2}{p}-1$

 

$E[X^2]=\displaystyle\frac{2-p}{p^2}$であるので、分散は

$\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2=\displaystyle\frac{1-p}{p^2}$

 

 

 

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