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目次
幾何分布
成功確率が$p$の試行においてはじめて成功するまでの確率に関係している。
確率
$P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$ $k=1,2,\cdots $ 初めて成功するまでの成功視点
$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} p(1-p)^{k-1}=1$を満たしている。（等比級数）
※$P(X=k)=p(1-p)^{k}$ $k=0,1,2,\cdots $の分布を考えることもある。
期待値
幾何分布の期待値は$E[X]=\displaystyle\frac{1-p}{p}$と書ける。以下導出です。
※二項分布などと違い、$k$は無限まであり得るので和の範囲が変わっている。
$E[X] =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k P(X=k)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} kp(1-p)^{k-1}$
$=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} p(1-p)^{k-1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (k-1)p(1-p)^{k-1}$
$=1+\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} kp(1-p)^k$
$=1+(1-p)\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} kp(1-p)^{k-1}$
$=1+(1-p)E[X]$
整理すると、$E[X]=\displaystyle\frac{1}{p}$が導かれる。
分散
幾何分布の分散は$\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\frac{1-p}{p^2}$と書ける。以下導出です。
$E[X^2]=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k^2 P(X=k)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k^2 p(1-p)^{k-1}$
$=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(k-1)^2 p(1-p)^{k-1}+2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}kp(1-p)^{k-1}-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}p(1-p)^{k-1}$
$=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} k^2 p(1-p)^k+2E[X]-1$
$=(1-p)E[X^2]+\displaystyle\frac{2}{p}-1$
$E[X^2]=\displaystyle\frac{2-p}{p^2}$であるので、分散は
$\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2=\displaystyle\frac{1-p}{p^2}$
